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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 137 Gesetz der Umgestaltung eingewandter Produkte.
(§ 134) verallgemeinert, nämlich dass man ein Produkt aus einan-
der eingeordneten Faktoren mit einer Grösse multiplicirt, indem
man den letzten Faktor mit derselben multiplicirt, ergiebt sich
leicht auf ähnliche Weise, wie das obige Gesetz, ist aber von ge-
ringerer Bedeutung. Uebrigens ist klar, dass in dem obigen Gesetz
zugleich das Gesetz über den mittleren Faktor in § 132 liegt;
nämlich
[Formel 1] indem man, statt B fortschreitend mit A und dem ihm übergeord-
neten AC zu multipliciren, auch in umgekehrter Folge multipliciren
darf.

§ 137. Wir verlassen den allgemeinen Begriff des eingewand-
ten Produktes und beschränken die Betrachtung auf den Fall, dass
die Multiplikation sich stets auf dasselbe Hauptsystem beziehe. Da
nun ein jedes solches Produkt nach § 132, wenn es auf die Form
der Unterordnung gebracht ist, als ersten Faktor entweder noth-
wendig eine das Hauptsystem darstellende Grösse hat, oder doch in
dieser Form dargestellt werden kann, so folgt, dass, wenn man auf
ein Produkt aus mehreren Faktoren, welches sich auf dasselbe
Hauptsystem bezieht, das in § 135 mitgetheilte Verfahren anwendet,
das Produkt sich auf die Form bringen lässt, dass alle Faktoren mit
Ausnahme des letzten das Hauptsystem darstellen. *) Bringen wir
alle jene vorangehenden Faktoren, welche das Hauptsystem darstel-
len, durch Anwendung der allgemeinen multiplikativen Formände-
rung auf denselben Grössenwerth, und fassen diesen Werth als
Hauptmass auf, so können wir dann den letzten Faktor, wie es in
§ 132 schon in Bezug auf zwei Faktoren festgestellt ist, "den ei-
genthümlichen (specifischen) Werth oder Faktor jener Produktgrösse
in Bezug auf dies Hauptmass" und das System desselben "das ei-
genthümliche System" der Produktgrösse nennen, und die Stufen-

*) Es sei z. B. H. A. B dies Produkt, in welchem H das Hauptsystem dar-
stelle, indem nämlich das Produkt der beiden ersten Faktoren schon auf die ver-
langte Form gebracht ist; nun sei B = CD, wo im Falle, dass das ganze Produkt
geltenden Werth habe, AD das Hauptsystem darstelle. Dann ist jenes ganze
Produkt gleich H.AD.C, was die verlangte Form hat. Ist das ganze Produkt
null, so kann man die ersten Faktoren beliebig setzen, wenn nur der letzte null
ist; also kann auch dann das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden.

§ 137 Gesetz der Umgestaltung eingewandter Produkte.
(§ 134) verallgemeinert, nämlich dass man ein Produkt aus einan-
der eingeordneten Faktoren mit einer Grösse multiplicirt, indem
man den letzten Faktor mit derselben multiplicirt, ergiebt sich
leicht auf ähnliche Weise, wie das obige Gesetz, ist aber von ge-
ringerer Bedeutung. Uebrigens ist klar, dass in dem obigen Gesetz
zugleich das Gesetz über den mittleren Faktor in § 132 liegt;
nämlich
[Formel 1] indem man, statt B fortschreitend mit A und dem ihm übergeord-
neten AC zu multipliciren, auch in umgekehrter Folge multipliciren
darf.

§ 137. Wir verlassen den allgemeinen Begriff des eingewand-
ten Produktes und beschränken die Betrachtung auf den Fall, dass
die Multiplikation sich stets auf dasselbe Hauptsystem beziehe. Da
nun ein jedes solches Produkt nach § 132, wenn es auf die Form
der Unterordnung gebracht ist, als ersten Faktor entweder noth-
wendig eine das Hauptsystem darstellende Grösse hat, oder doch in
dieser Form dargestellt werden kann, so folgt, dass, wenn man auf
ein Produkt aus mehreren Faktoren, welches sich auf dasselbe
Hauptsystem bezieht, das in § 135 mitgetheilte Verfahren anwendet,
das Produkt sich auf die Form bringen lässt, dass alle Faktoren mit
Ausnahme des letzten das Hauptsystem darstellen. *) Bringen wir
alle jene vorangehenden Faktoren, welche das Hauptsystem darstel-
len, durch Anwendung der allgemeinen multiplikativen Formände-
rung auf denselben Grössenwerth, und fassen diesen Werth als
Hauptmass auf, so können wir dann den letzten Faktor, wie es in
§ 132 schon in Bezug auf zwei Faktoren festgestellt ist, „den ei-
genthümlichen (specifischen) Werth oder Faktor jener Produktgrösse
in Bezug auf dies Hauptmass“ und das System desselben „das ei-
genthümliche System“ der Produktgrösse nennen, und die Stufen-

*) Es sei z. B. H. A. B dies Produkt, in welchem H das Hauptsystem dar-
stelle, indem nämlich das Produkt der beiden ersten Faktoren schon auf die ver-
langte Form gebracht ist; nun sei B = CD, wo im Falle, dass das ganze Produkt
geltenden Werth habe, AD das Hauptsystem darstelle. Dann ist jenes ganze
Produkt gleich H.AD.C, was die verlangte Form hat. Ist das ganze Produkt
null, so kann man die ersten Faktoren beliebig setzen, wenn nur der letzte null
ist; also kann auch dann das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden.
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[203/0239] § 137 Gesetz der Umgestaltung eingewandter Produkte. (§ 134) verallgemeinert, nämlich dass man ein Produkt aus einan- der eingeordneten Faktoren mit einer Grösse multiplicirt, indem man den letzten Faktor mit derselben multiplicirt, ergiebt sich leicht auf ähnliche Weise, wie das obige Gesetz, ist aber von ge- ringerer Bedeutung. Uebrigens ist klar, dass in dem obigen Gesetz zugleich das Gesetz über den mittleren Faktor in § 132 liegt; nämlich [FORMEL] indem man, statt B fortschreitend mit A und dem ihm übergeord- neten AC zu multipliciren, auch in umgekehrter Folge multipliciren darf. § 137. Wir verlassen den allgemeinen Begriff des eingewand- ten Produktes und beschränken die Betrachtung auf den Fall, dass die Multiplikation sich stets auf dasselbe Hauptsystem beziehe. Da nun ein jedes solches Produkt nach § 132, wenn es auf die Form der Unterordnung gebracht ist, als ersten Faktor entweder noth- wendig eine das Hauptsystem darstellende Grösse hat, oder doch in dieser Form dargestellt werden kann, so folgt, dass, wenn man auf ein Produkt aus mehreren Faktoren, welches sich auf dasselbe Hauptsystem bezieht, das in § 135 mitgetheilte Verfahren anwendet, das Produkt sich auf die Form bringen lässt, dass alle Faktoren mit Ausnahme des letzten das Hauptsystem darstellen. *) Bringen wir alle jene vorangehenden Faktoren, welche das Hauptsystem darstel- len, durch Anwendung der allgemeinen multiplikativen Formände- rung auf denselben Grössenwerth, und fassen diesen Werth als Hauptmass auf, so können wir dann den letzten Faktor, wie es in § 132 schon in Bezug auf zwei Faktoren festgestellt ist, „den ei- genthümlichen (specifischen) Werth oder Faktor jener Produktgrösse in Bezug auf dies Hauptmass“ und das System desselben „das ei- genthümliche System“ der Produktgrösse nennen, und die Stufen- *) Es sei z. B. H. A. B dies Produkt, in welchem H das Hauptsystem dar- stelle, indem nämlich das Produkt der beiden ersten Faktoren schon auf die ver- langte Form gebracht ist; nun sei B = CD, wo im Falle, dass das ganze Produkt geltenden Werth habe, AD das Hauptsystem darstelle. Dann ist jenes ganze Produkt gleich H.AD.C, was die verlangte Form hat. Ist das ganze Produkt null, so kann man die ersten Faktoren beliebig setzen, wenn nur der letzte null ist; also kann auch dann das Produkt auf die verlangte Form gebracht werden.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 203. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/239>, abgerufen am 20.05.2024.