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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 137
zahl dieses Systems als Stufenzahl jener Produktgrösse selbst auf-
fassen. Wir können ferner die Grössen, welche durch eingewandte
Multiplikation reiner Grössen (s. § 135) hervorgehen, Beziehungs-
grössen nennen, weil sie nur in ihrer Beziehung auf ein System
oder ein Mass eine einfache Bedeutung gewinnen. Als eigenthüm-
licher Werth einer reinen Grösse erscheint natürlich diese Grösse
selbst. Es gilt hier auch noch das, was wir in § 128 über die Be-
zeichnung der Multiplikation bei zwei Faktoren sagten, dass es
nämlich, wenn einmal das Hauptsystem als Beziehungssystem fest-
stehe, als überflüssig erscheine, die äussere Multiplikation von der
eingewandten oder die verschiedenen Grade der letzteren durch die
Bezeichnung zu unterscheiden. *) Dagegen tritt hier ein neuer Un-
terschied hervor, nämlich der zwischen reinen und gemischten
Produkten. Nämlich reine Produkte nenne ich solche, deren Fak-
toren fortschreitend stets durch dieselbe Art der Multiplikation ver-
knüpft sind, d. h. entweder nur durch äussere Multiplikation (äus-
sere Produkte), oder nur durch eingewandte auf ein und dasselbe
System bezügliche (reine eingewandte Produkte); gemischte hingegen
nenne ich solche, deren Faktoren fortschreitend entweder durch
beiderlei Arten der Multiplikation (äussere und eingewandte) ver-
knüpft sind, oder zwar bloss durch eingewandte aber auf verschie-
dene Systeme bezügliche. Da die reinen und die gemischten Pro-
dukte verschiedenen Gesetzen unterliegen, so ist ihre Unterschei-
dung sehr wichtig; und obgleich eine Unterscheidung durch die Be-
zeichnung nicht nothwendig ist, indem durch die Stufenzahlen der
Faktoren, wenn das Hauptsystem als Beziehungssystem feststeht,
auch schon immer bestimmt ist, ob das Produkt ein reines oder
gemischtes sei, so erscheint eine solche Unterscheidung doch in
vielen Fällen als sehr bequem. Ich will mich daher in solchen

*) Ganz anders würde dies bei der allgemeinen realen Multiplikation sein,
indem bei ihr die verschiedenen Grade der Abhängigkeit zwischen den einzelnen
Faktoren festgestellt werden müssten, bei denen das Produkt noch einen gelten-
den Werth hätte. Das Produkt aus mehreren Faktoren würde dann seiner Art
nach durch eine Reihe von Zahlen bestimmt sein, welche jene Abhängigkeits-
grade darstellten; diese Bestimmung würde also eine zusammengesetzte sein,
und nicht mehr einen einfachen Begriff darstellen. Und dies ist der Grund, wes-
halb wir diesen allgemeinen Fall hier übergangen haben.

Das eingewandte Produkt. § 137
zahl dieses Systems als Stufenzahl jener Produktgrösse selbst auf-
fassen. Wir können ferner die Grössen, welche durch eingewandte
Multiplikation reiner Grössen (s. § 135) hervorgehen, Beziehungs-
grössen nennen, weil sie nur in ihrer Beziehung auf ein System
oder ein Mass eine einfache Bedeutung gewinnen. Als eigenthüm-
licher Werth einer reinen Grösse erscheint natürlich diese Grösse
selbst. Es gilt hier auch noch das, was wir in § 128 über die Be-
zeichnung der Multiplikation bei zwei Faktoren sagten, dass es
nämlich, wenn einmal das Hauptsystem als Beziehungssystem fest-
stehe, als überflüssig erscheine, die äussere Multiplikation von der
eingewandten oder die verschiedenen Grade der letzteren durch die
Bezeichnung zu unterscheiden. *) Dagegen tritt hier ein neuer Un-
terschied hervor, nämlich der zwischen reinen und gemischten
Produkten. Nämlich reine Produkte nenne ich solche, deren Fak-
toren fortschreitend stets durch dieselbe Art der Multiplikation ver-
knüpft sind, d. h. entweder nur durch äussere Multiplikation (äus-
sere Produkte), oder nur durch eingewandte auf ein und dasselbe
System bezügliche (reine eingewandte Produkte); gemischte hingegen
nenne ich solche, deren Faktoren fortschreitend entweder durch
beiderlei Arten der Multiplikation (äussere und eingewandte) ver-
knüpft sind, oder zwar bloss durch eingewandte aber auf verschie-
dene Systeme bezügliche. Da die reinen und die gemischten Pro-
dukte verschiedenen Gesetzen unterliegen, so ist ihre Unterschei-
dung sehr wichtig; und obgleich eine Unterscheidung durch die Be-
zeichnung nicht nothwendig ist, indem durch die Stufenzahlen der
Faktoren, wenn das Hauptsystem als Beziehungssystem feststeht,
auch schon immer bestimmt ist, ob das Produkt ein reines oder
gemischtes sei, so erscheint eine solche Unterscheidung doch in
vielen Fällen als sehr bequem. Ich will mich daher in solchen

*) Ganz anders würde dies bei der allgemeinen realen Multiplikation sein,
indem bei ihr die verschiedenen Grade der Abhängigkeit zwischen den einzelnen
Faktoren festgestellt werden müssten, bei denen das Produkt noch einen gelten-
den Werth hätte. Das Produkt aus mehreren Faktoren würde dann seiner Art
nach durch eine Reihe von Zahlen bestimmt sein, welche jene Abhängigkeits-
grade darstellten; diese Bestimmung würde also eine zusammengesetzte sein,
und nicht mehr einen einfachen Begriff darstellen. Und dies ist der Grund, wes-
halb wir diesen allgemeinen Fall hier übergangen haben.
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[204/0240] Das eingewandte Produkt. § 137 zahl dieses Systems als Stufenzahl jener Produktgrösse selbst auf- fassen. Wir können ferner die Grössen, welche durch eingewandte Multiplikation reiner Grössen (s. § 135) hervorgehen, Beziehungs- grössen nennen, weil sie nur in ihrer Beziehung auf ein System oder ein Mass eine einfache Bedeutung gewinnen. Als eigenthüm- licher Werth einer reinen Grösse erscheint natürlich diese Grösse selbst. Es gilt hier auch noch das, was wir in § 128 über die Be- zeichnung der Multiplikation bei zwei Faktoren sagten, dass es nämlich, wenn einmal das Hauptsystem als Beziehungssystem fest- stehe, als überflüssig erscheine, die äussere Multiplikation von der eingewandten oder die verschiedenen Grade der letzteren durch die Bezeichnung zu unterscheiden. *) Dagegen tritt hier ein neuer Un- terschied hervor, nämlich der zwischen reinen und gemischten Produkten. Nämlich reine Produkte nenne ich solche, deren Fak- toren fortschreitend stets durch dieselbe Art der Multiplikation ver- knüpft sind, d. h. entweder nur durch äussere Multiplikation (äus- sere Produkte), oder nur durch eingewandte auf ein und dasselbe System bezügliche (reine eingewandte Produkte); gemischte hingegen nenne ich solche, deren Faktoren fortschreitend entweder durch beiderlei Arten der Multiplikation (äussere und eingewandte) ver- knüpft sind, oder zwar bloss durch eingewandte aber auf verschie- dene Systeme bezügliche. Da die reinen und die gemischten Pro- dukte verschiedenen Gesetzen unterliegen, so ist ihre Unterschei- dung sehr wichtig; und obgleich eine Unterscheidung durch die Be- zeichnung nicht nothwendig ist, indem durch die Stufenzahlen der Faktoren, wenn das Hauptsystem als Beziehungssystem feststeht, auch schon immer bestimmt ist, ob das Produkt ein reines oder gemischtes sei, so erscheint eine solche Unterscheidung doch in vielen Fällen als sehr bequem. Ich will mich daher in solchen *) Ganz anders würde dies bei der allgemeinen realen Multiplikation sein, indem bei ihr die verschiedenen Grade der Abhängigkeit zwischen den einzelnen Faktoren festgestellt werden müssten, bei denen das Produkt noch einen gelten- den Werth hätte. Das Produkt aus mehreren Faktoren würde dann seiner Art nach durch eine Reihe von Zahlen bestimmt sein, welche jene Abhängigkeits- grade darstellten; diese Bestimmung würde also eine zusammengesetzte sein, und nicht mehr einen einfachen Begriff darstellen. Und dies ist der Grund, wes- halb wir diesen allgemeinen Fall hier übergangen haben.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 204. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/240>, abgerufen am 19.05.2024.