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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 138 Ergänzzahlen bei reinen Produkten.
Fällen der Punkte bedienen, um durch sie die Faktoren des reinen
Produktes von einander abzusondern, und will daher festsetzen,
dass, wo Punkte zur Bezeichnung der Multiplikation angewandt
werden, dann auch stets, wenn sie gar keiner oder derselben Klam-
mer eingeordnet sind, durch sie Faktoren eines reinen Produktes
von einander abgesondert werden, wobei dann ein Produkt von
unmittelbar zusammengeschriebenen Grössen in Bezug auf diese
Punkte jedesmal als Ein Faktor erscheint; z. B. bedeutet AB . CD . EF
ein reines Produkt, dessen Faktoren AB, CD, EF sind.

§ 138. Wir können nun die in § 133 für zwei Faktoren er-
wiesenen Sätze auch auf mehrere Faktoren übertragen. Zuerst
was die Vertauschung betrifft, so zeigt sich, dass auch bei mehre-
ren Faktoren die Stellung eines Faktors, der das Beziehungssystem
darstellt, ganz gleichgültig ist; und daraus folgt dann überhaupt,
dass man, um zwei Produktgrössen zu multipliciren, nur ihre eigen-
thümlichen Werthe in Bezug auf irgend ein Hauptmass zu multi-
pliciren, und diesem Produkte das Hauptmass so oft als Faktor
hinzuzufügen hat, als es in beiden Grössen zusammengenommen
als Faktor vorkommt; z. B. ist HmA . HnB, wo H das Hauptmass
darstellt, gleich HmHnA . B oder gleich Hm+nA . B. Hierin liegt
dann, dass zwei Produktgrössen, welche als Faktoren zusammen-
treten, gleichfalls mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschbar sind,
je nachdem ihre Ergänzzahlen beide zugleich ungerade sind oder
nicht. Die folgenden Sätze jenes Paragraphen können wir nur auf
reine eingewandte Produkte übertragen. Da nämlich bei zwei
Faktoren eines eingewandten Produktes von geltendem Werthe, die
Ergänzzahl des Produktes die Summe ist aus den Ergänzzahlen der
Faktoren, so bleibt dies Gesetz bestehen, wenn zu diesem einge-
wandten Produkte wieder ein eingewandter Faktor hinzutritt und
das Produkt wieder geltenden Werth behält; es ist dann die Er-
gänzzahl des Gesammtproduktes, wie sogleich durch zweimalige
Anwendung des für 2 Faktoren bewiesenen Gesetzes einleuchtet,
die Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren und so fort für be-
liebig viele Faktoren. Da überdies das Produkt zweier Faktoren
dann und nur dann als ein eingewandtes erscheint, wenn die Summe
der beiden Stufenzahlen grösser, d. h. die Summe der Ergänzzah-
len kleiner ist als die Stufenzahl des Hauptsystems, so wird auch

§ 138 Ergänzzahlen bei reinen Produkten.
Fällen der Punkte bedienen, um durch sie die Faktoren des reinen
Produktes von einander abzusondern, und will daher festsetzen,
dass, wo Punkte zur Bezeichnung der Multiplikation angewandt
werden, dann auch stets, wenn sie gar keiner oder derselben Klam-
mer eingeordnet sind, durch sie Faktoren eines reinen Produktes
von einander abgesondert werden, wobei dann ein Produkt von
unmittelbar zusammengeschriebenen Grössen in Bezug auf diese
Punkte jedesmal als Ein Faktor erscheint; z. B. bedeutet AB . CD . EF
ein reines Produkt, dessen Faktoren AB, CD, EF sind.

§ 138. Wir können nun die in § 133 für zwei Faktoren er-
wiesenen Sätze auch auf mehrere Faktoren übertragen. Zuerst
was die Vertauschung betrifft, so zeigt sich, dass auch bei mehre-
ren Faktoren die Stellung eines Faktors, der das Beziehungssystem
darstellt, ganz gleichgültig ist; und daraus folgt dann überhaupt,
dass man, um zwei Produktgrössen zu multipliciren, nur ihre eigen-
thümlichen Werthe in Bezug auf irgend ein Hauptmass zu multi-
pliciren, und diesem Produkte das Hauptmass so oft als Faktor
hinzuzufügen hat, als es in beiden Grössen zusammengenommen
als Faktor vorkommt; z. B. ist HmA . HnB, wo H das Hauptmass
darstellt, gleich HmHnA . B oder gleich Hm+nA . B. Hierin liegt
dann, dass zwei Produktgrössen, welche als Faktoren zusammen-
treten, gleichfalls mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschbar sind,
je nachdem ihre Ergänzzahlen beide zugleich ungerade sind oder
nicht. Die folgenden Sätze jenes Paragraphen können wir nur auf
reine eingewandte Produkte übertragen. Da nämlich bei zwei
Faktoren eines eingewandten Produktes von geltendem Werthe, die
Ergänzzahl des Produktes die Summe ist aus den Ergänzzahlen der
Faktoren, so bleibt dies Gesetz bestehen, wenn zu diesem einge-
wandten Produkte wieder ein eingewandter Faktor hinzutritt und
das Produkt wieder geltenden Werth behält; es ist dann die Er-
gänzzahl des Gesammtproduktes, wie sogleich durch zweimalige
Anwendung des für 2 Faktoren bewiesenen Gesetzes einleuchtet,
die Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren und so fort für be-
liebig viele Faktoren. Da überdies das Produkt zweier Faktoren
dann und nur dann als ein eingewandtes erscheint, wenn die Summe
der beiden Stufenzahlen grösser, d. h. die Summe der Ergänzzah-
len kleiner ist als die Stufenzahl des Hauptsystems, so wird auch

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[205/0241] § 138 Ergänzzahlen bei reinen Produkten. Fällen der Punkte bedienen, um durch sie die Faktoren des reinen Produktes von einander abzusondern, und will daher festsetzen, dass, wo Punkte zur Bezeichnung der Multiplikation angewandt werden, dann auch stets, wenn sie gar keiner oder derselben Klam- mer eingeordnet sind, durch sie Faktoren eines reinen Produktes von einander abgesondert werden, wobei dann ein Produkt von unmittelbar zusammengeschriebenen Grössen in Bezug auf diese Punkte jedesmal als Ein Faktor erscheint; z. B. bedeutet AB . CD . EF ein reines Produkt, dessen Faktoren AB, CD, EF sind. § 138. Wir können nun die in § 133 für zwei Faktoren er- wiesenen Sätze auch auf mehrere Faktoren übertragen. Zuerst was die Vertauschung betrifft, so zeigt sich, dass auch bei mehre- ren Faktoren die Stellung eines Faktors, der das Beziehungssystem darstellt, ganz gleichgültig ist; und daraus folgt dann überhaupt, dass man, um zwei Produktgrössen zu multipliciren, nur ihre eigen- thümlichen Werthe in Bezug auf irgend ein Hauptmass zu multi- pliciren, und diesem Produkte das Hauptmass so oft als Faktor hinzuzufügen hat, als es in beiden Grössen zusammengenommen als Faktor vorkommt; z. B. ist HmA . HnB, wo H das Hauptmass darstellt, gleich HmHnA . B oder gleich Hm+nA . B. Hierin liegt dann, dass zwei Produktgrössen, welche als Faktoren zusammen- treten, gleichfalls mit oder ohne Zeichenwechsel vertauschbar sind, je nachdem ihre Ergänzzahlen beide zugleich ungerade sind oder nicht. Die folgenden Sätze jenes Paragraphen können wir nur auf reine eingewandte Produkte übertragen. Da nämlich bei zwei Faktoren eines eingewandten Produktes von geltendem Werthe, die Ergänzzahl des Produktes die Summe ist aus den Ergänzzahlen der Faktoren, so bleibt dies Gesetz bestehen, wenn zu diesem einge- wandten Produkte wieder ein eingewandter Faktor hinzutritt und das Produkt wieder geltenden Werth behält; es ist dann die Er- gänzzahl des Gesammtproduktes, wie sogleich durch zweimalige Anwendung des für 2 Faktoren bewiesenen Gesetzes einleuchtet, die Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren und so fort für be- liebig viele Faktoren. Da überdies das Produkt zweier Faktoren dann und nur dann als ein eingewandtes erscheint, wenn die Summe der beiden Stufenzahlen grösser, d. h. die Summe der Ergänzzah- len kleiner ist als die Stufenzahl des Hauptsystems, so wird auch

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 205. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/241>, abgerufen am 20.05.2024.