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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 138
das geltende Produkt aus drei und mehr Faktoren dann und nur
dann als ein reines eingewandtes erscheinen, wenn die Summe der
Ergänzzahlen stets kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsy-
stems, d. h. wenn die Summe aller Ergänzzahlen der Faktoren
noch kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsystems. Um end-
lich auch den Satz aus § 133 über das Nullwerden hier zu über-
tragen, erinnern wir daran, dass die Summe der Ergänzzahlen
zweier Grössen, welche das Beziehungssystem als nächstumfassen-
des System haben, und also als Produkt einen geltenden Werth
darbieten, gleich der Ergänzzahl ihres gemeinschaftlichen Systemes
ist; dass aber, wenn das nächstumfassende System niedriger ist als
das Beziehungssystem, und das Produkt also null ist, die Stufen-
zahl des gemeinschaftlichen Systems grösser, seine Ergänzzahl also
kleiner wird, als die Summe der zu den Faktoren gehörigen Ergänz-
zahlen. Tritt nun ein Faktor hinzu, so ist das gemeinschaftliche
System aller Faktoren dasjenige, was der hinzutretende Faktor mit
dem allen vorhergehenden Faktoren gemeinschaftlichen Systeme
selbst wieder gemeinschaftlich hat. Es wird also, sobald das ge-
sammte Produkt geltenden Werth behält, die Summe aller Ergänz-
zahlen gleich der Ergänzzahl des den sämmtlichen Faktoren ge-
meinschaftlichen Systemes sein; wenn aber durch irgend einen
Faktor, welcher hinzutritt, das Produkt null wird, ohne dass der
hinzutretende Faktor selbst null ist, so wird dort die Ergänzzahl
des gemeinschaftlichen Systemes kleiner werden, und somit auch,
wenn noch neue Faktoren hinzutreten, kleiner bleiben als die je-
desmalige Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren. Es wird
also ein reines eingewandtes Produkt, dessen Faktoren geltende
Werthe haben, dann und nur dann null werden, wenn die Ergänz-
zahl des allen Faktoren gemeinschaftlichen Systems kleiner ist als
die Summe der Ergänzzahlen der Faktoren. Auch liegt in der Art
der Beweisführung, dass der eigenthümliche Werth eines solchen
Produktes, wenn es nicht null ist, das den sämmtlichen Faktoren
gemeinschaftliche System darstellt. Fassen wir nun die über die
Ergänzzahlen aufgestellten Gesetze zusammen und schliessen die
entsprechenden Gesetze über die Stufenzahlen äusserer Produkte
mit hinein, so erhalten wir den Satz:

"Ein Produkt aus beliebig vielen Faktoren von geltenden Wer-

Das eingewandte Produkt. § 138
das geltende Produkt aus drei und mehr Faktoren dann und nur
dann als ein reines eingewandtes erscheinen, wenn die Summe der
Ergänzzahlen stets kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsy-
stems, d. h. wenn die Summe aller Ergänzzahlen der Faktoren
noch kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsystems. Um end-
lich auch den Satz aus § 133 über das Nullwerden hier zu über-
tragen, erinnern wir daran, dass die Summe der Ergänzzahlen
zweier Grössen, welche das Beziehungssystem als nächstumfassen-
des System haben, und also als Produkt einen geltenden Werth
darbieten, gleich der Ergänzzahl ihres gemeinschaftlichen Systemes
ist; dass aber, wenn das nächstumfassende System niedriger ist als
das Beziehungssystem, und das Produkt also null ist, die Stufen-
zahl des gemeinschaftlichen Systems grösser, seine Ergänzzahl also
kleiner wird, als die Summe der zu den Faktoren gehörigen Ergänz-
zahlen. Tritt nun ein Faktor hinzu, so ist das gemeinschaftliche
System aller Faktoren dasjenige, was der hinzutretende Faktor mit
dem allen vorhergehenden Faktoren gemeinschaftlichen Systeme
selbst wieder gemeinschaftlich hat. Es wird also, sobald das ge-
sammte Produkt geltenden Werth behält, die Summe aller Ergänz-
zahlen gleich der Ergänzzahl des den sämmtlichen Faktoren ge-
meinschaftlichen Systemes sein; wenn aber durch irgend einen
Faktor, welcher hinzutritt, das Produkt null wird, ohne dass der
hinzutretende Faktor selbst null ist, so wird dort die Ergänzzahl
des gemeinschaftlichen Systemes kleiner werden, und somit auch,
wenn noch neue Faktoren hinzutreten, kleiner bleiben als die je-
desmalige Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren. Es wird
also ein reines eingewandtes Produkt, dessen Faktoren geltende
Werthe haben, dann und nur dann null werden, wenn die Ergänz-
zahl des allen Faktoren gemeinschaftlichen Systems kleiner ist als
die Summe der Ergänzzahlen der Faktoren. Auch liegt in der Art
der Beweisführung, dass der eigenthümliche Werth eines solchen
Produktes, wenn es nicht null ist, das den sämmtlichen Faktoren
gemeinschaftliche System darstellt. Fassen wir nun die über die
Ergänzzahlen aufgestellten Gesetze zusammen und schliessen die
entsprechenden Gesetze über die Stufenzahlen äusserer Produkte
mit hinein, so erhalten wir den Satz:

„Ein Produkt aus beliebig vielen Faktoren von geltenden Wer-
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[206/0242] Das eingewandte Produkt. § 138 das geltende Produkt aus drei und mehr Faktoren dann und nur dann als ein reines eingewandtes erscheinen, wenn die Summe der Ergänzzahlen stets kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsy- stems, d. h. wenn die Summe aller Ergänzzahlen der Faktoren noch kleiner bleibt als die Stufenzahl des Hauptsystems. Um end- lich auch den Satz aus § 133 über das Nullwerden hier zu über- tragen, erinnern wir daran, dass die Summe der Ergänzzahlen zweier Grössen, welche das Beziehungssystem als nächstumfassen- des System haben, und also als Produkt einen geltenden Werth darbieten, gleich der Ergänzzahl ihres gemeinschaftlichen Systemes ist; dass aber, wenn das nächstumfassende System niedriger ist als das Beziehungssystem, und das Produkt also null ist, die Stufen- zahl des gemeinschaftlichen Systems grösser, seine Ergänzzahl also kleiner wird, als die Summe der zu den Faktoren gehörigen Ergänz- zahlen. Tritt nun ein Faktor hinzu, so ist das gemeinschaftliche System aller Faktoren dasjenige, was der hinzutretende Faktor mit dem allen vorhergehenden Faktoren gemeinschaftlichen Systeme selbst wieder gemeinschaftlich hat. Es wird also, sobald das ge- sammte Produkt geltenden Werth behält, die Summe aller Ergänz- zahlen gleich der Ergänzzahl des den sämmtlichen Faktoren ge- meinschaftlichen Systemes sein; wenn aber durch irgend einen Faktor, welcher hinzutritt, das Produkt null wird, ohne dass der hinzutretende Faktor selbst null ist, so wird dort die Ergänzzahl des gemeinschaftlichen Systemes kleiner werden, und somit auch, wenn noch neue Faktoren hinzutreten, kleiner bleiben als die je- desmalige Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren. Es wird also ein reines eingewandtes Produkt, dessen Faktoren geltende Werthe haben, dann und nur dann null werden, wenn die Ergänz- zahl des allen Faktoren gemeinschaftlichen Systems kleiner ist als die Summe der Ergänzzahlen der Faktoren. Auch liegt in der Art der Beweisführung, dass der eigenthümliche Werth eines solchen Produktes, wenn es nicht null ist, das den sämmtlichen Faktoren gemeinschaftliche System darstellt. Fassen wir nun die über die Ergänzzahlen aufgestellten Gesetze zusammen und schliessen die entsprechenden Gesetze über die Stufenzahlen äusserer Produkte mit hinein, so erhalten wir den Satz: „Ein Produkt aus beliebig vielen Faktoren von geltenden Wer-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 206. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/242>, abgerufen am 19.05.2024.