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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 139 Ergänzzahlen bei reinen Produkten.
then ist ein reines, wenn entweder die Stufenzahlen oder die
Ergänzzahlen der Faktoren zusammengenommen kleiner sind
als die Stufenzahl des Hauptsystems, und zwar im ersteren
Falle ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes, hingegen
ein gemischtes, wenn keins von beiden der Fall ist. Das
reine Produkt ist null im ersten Falle, wenn die Stufenzahlen
der Faktoren zusammengenommen grösser sind als die Stufen-
zahl des die Faktoren zunächst umfassenden Systemes, im
letzteren, wenn die Ergänzzahlen der Faktoren zusammenge-
nommen grösser sind als die Ergänzzahl des den Faktoren
gemeinschaftlichen Systemes. Wenn das reine Produkt einen
geltenden Werth hat, so stellt der eigenthümliche Werth des-
selben im ersten Falle das nächstumfassende, im letzteren das
gemeinschaftliche System dar; und im ersteren Falle ist die
Stufenzahl desselben die Summe aus den Stufenzahlen der
Faktoren, im letzteren ist seine Ergänzzahl die Summe aus
den Ergänzzahlen der Faktoren."

§ 139. Wir schreiten nun zu dem multiplikativen Zusammen-
fassungsgesetz, d. h. wir untersuchen, ob und in welchem Um-
fange
[Formel 1] gesetzt werden können. Schon aus dem Satze in § 136 geht her-
vor, dass für das gemischte Produkt dreier Faktoren jenes Gesetz
im Allgemeinen nicht gelte *); hingegen wollen wir zeigen, dass
dasselbe für das reine Produkt im allgemeinsten Sinne gelte, dass
also nach der in § 137 eingeführten Bezeichnung allemal
[Formel 2] sei. Zunächst leuchtet ein, dass, wenn die Gültigkeit dieses Ge-
setzes nachgewiesen ist für den Fall, dass P, Q, R reine Grössen
sind, sie damit auch zugleich für den Fall, dass dieselben sämmt-
lich oder zum Theil Beziehungsgrössen sind, nachgewiesen sei.

*) Allerdings können Fälle aufgeführt werden, in welchen vermittelst des
Satzes in § 136 unser Gesetz auch dann noch seine Anwendung findet; allein
diese Fälle sind so vereinzelt, die Bedingungen, unter denen sie eintreten, so
zusammengesetzt, dass aus ihrer Aufzählung der Wissenschaft kein Vortheil
erwächst.
§ 139 Ergänzzahlen bei reinen Produkten.
then ist ein reines, wenn entweder die Stufenzahlen oder die
Ergänzzahlen der Faktoren zusammengenommen kleiner sind
als die Stufenzahl des Hauptsystems, und zwar im ersteren
Falle ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes, hingegen
ein gemischtes, wenn keins von beiden der Fall ist. Das
reine Produkt ist null im ersten Falle, wenn die Stufenzahlen
der Faktoren zusammengenommen grösser sind als die Stufen-
zahl des die Faktoren zunächst umfassenden Systemes, im
letzteren, wenn die Ergänzzahlen der Faktoren zusammenge-
nommen grösser sind als die Ergänzzahl des den Faktoren
gemeinschaftlichen Systemes. Wenn das reine Produkt einen
geltenden Werth hat, so stellt der eigenthümliche Werth des-
selben im ersten Falle das nächstumfassende, im letzteren das
gemeinschaftliche System dar; und im ersteren Falle ist die
Stufenzahl desselben die Summe aus den Stufenzahlen der
Faktoren, im letzteren ist seine Ergänzzahl die Summe aus
den Ergänzzahlen der Faktoren.“

§ 139. Wir schreiten nun zu dem multiplikativen Zusammen-
fassungsgesetz, d. h. wir untersuchen, ob und in welchem Um-
fange
[Formel 1] gesetzt werden können. Schon aus dem Satze in § 136 geht her-
vor, dass für das gemischte Produkt dreier Faktoren jenes Gesetz
im Allgemeinen nicht gelte *); hingegen wollen wir zeigen, dass
dasselbe für das reine Produkt im allgemeinsten Sinne gelte, dass
also nach der in § 137 eingeführten Bezeichnung allemal
[Formel 2] sei. Zunächst leuchtet ein, dass, wenn die Gültigkeit dieses Ge-
setzes nachgewiesen ist für den Fall, dass P, Q, R reine Grössen
sind, sie damit auch zugleich für den Fall, dass dieselben sämmt-
lich oder zum Theil Beziehungsgrössen sind, nachgewiesen sei.

*) Allerdings können Fälle aufgeführt werden, in welchen vermittelst des
Satzes in § 136 unser Gesetz auch dann noch seine Anwendung findet; allein
diese Fälle sind so vereinzelt, die Bedingungen, unter denen sie eintreten, so
zusammengesetzt, dass aus ihrer Aufzählung der Wissenschaft kein Vortheil
erwächst.
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[207/0243] § 139 Ergänzzahlen bei reinen Produkten. then ist ein reines, wenn entweder die Stufenzahlen oder die Ergänzzahlen der Faktoren zusammengenommen kleiner sind als die Stufenzahl des Hauptsystems, und zwar im ersteren Falle ein äusseres, im letzteren ein eingewandtes, hingegen ein gemischtes, wenn keins von beiden der Fall ist. Das reine Produkt ist null im ersten Falle, wenn die Stufenzahlen der Faktoren zusammengenommen grösser sind als die Stufen- zahl des die Faktoren zunächst umfassenden Systemes, im letzteren, wenn die Ergänzzahlen der Faktoren zusammenge- nommen grösser sind als die Ergänzzahl des den Faktoren gemeinschaftlichen Systemes. Wenn das reine Produkt einen geltenden Werth hat, so stellt der eigenthümliche Werth des- selben im ersten Falle das nächstumfassende, im letzteren das gemeinschaftliche System dar; und im ersteren Falle ist die Stufenzahl desselben die Summe aus den Stufenzahlen der Faktoren, im letzteren ist seine Ergänzzahl die Summe aus den Ergänzzahlen der Faktoren.“ § 139. Wir schreiten nun zu dem multiplikativen Zusammen- fassungsgesetz, d. h. wir untersuchen, ob und in welchem Um- fange [FORMEL] gesetzt werden können. Schon aus dem Satze in § 136 geht her- vor, dass für das gemischte Produkt dreier Faktoren jenes Gesetz im Allgemeinen nicht gelte *); hingegen wollen wir zeigen, dass dasselbe für das reine Produkt im allgemeinsten Sinne gelte, dass also nach der in § 137 eingeführten Bezeichnung allemal [FORMEL] sei. Zunächst leuchtet ein, dass, wenn die Gültigkeit dieses Ge- setzes nachgewiesen ist für den Fall, dass P, Q, R reine Grössen sind, sie damit auch zugleich für den Fall, dass dieselben sämmt- lich oder zum Theil Beziehungsgrössen sind, nachgewiesen sei. *) Allerdings können Fälle aufgeführt werden, in welchen vermittelst des Satzes in § 136 unser Gesetz auch dann noch seine Anwendung findet; allein diese Fälle sind so vereinzelt, die Bedingungen, unter denen sie eintreten, so zusammengesetzt, dass aus ihrer Aufzählung der Wissenschaft kein Vortheil erwächst.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 207. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/243>, abgerufen am 19.05.2024.