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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 139
Denn nach dem vorigen Paragraphen hat man Beziehungsgrössen
so mit einander zu multipliciren, dass man ihre eigenthümlichen
Werthe in Bezug auf ein und dasselbe Hauptmass mit einander
multiplicirt und dem Produkte, gleichviel auf welcher Stelle, so oft
das Hauptmass als Faktor hinzufügt, als es in beiden Grössen zu-
sammen als Faktor enthalten war. Da man hiernach also in einem
Produkte überhaupt jeden Faktor, der das Hauptmass darstellt, auf
eine beliebige Stelle setzen und beliebig aus einer Klammer her-
aus oder in eine solche hineinrücken kann, so folgt, dass jenes
Gesetz, wenn es für reine Grössen gilt, es auch für Beziehungs-
grössen, also allgemein gelte. Nun gilt es zunächst nach den Ge-
setzen der äusseren Multiplikation für äussere Produkte reiner Grös-
sen, also auch für äussere Produkte überhaupt. Es bleibt also nur
zu beweisen übrig, dass es auch für das reine eingewandte Produkt
reiner Grössen gelte. In diesem Falle kommt es darauf an zu zei-
gen, dass P, Q, R, wenn das eingewandte Produkt einen geltenden
Werth hat, sich in den Formen ABC, ABD, ADC darstellen lassen,
so dass zugleich ABCD das Hauptsystem darstellt. Es seien die
Ergänzzahlen der Grössen P, Q, R beziehlich d, c, b, so ist die
Ergänzzahl des Produktes oder des den drei Faktoren gemein-
schaftlichen Systemes A nach § 138 (am Schlusse) gleich der
Summe jener Zahlen, also gleich b + c + d; und ist also a die
Stufenzahl jenes gemeinschaftlichen Systemes, so ist die des Haupt-
systemes gleich a + b + c + d. Zwei der Faktoren, z. B. P und
Q, werden nach demselben Satze ein System gemeinschaftlich ha-
ben, dessen Ergänzzahl die Summe ist aus den Ergänzzahlen jener
Faktoren, also hier gleich c + d ist; also ist die Stufenzahl dieses
gemeinschaftlichen Systemes gleich a + b; es wird somit dies Sy-
stem durch ein Produkt AB dargestellt werden können, in welchem
B von b-ter Stufe und von A unabhängig ist. Ebenso wird das
dem P und R gemeinschaftliche System von a + c-ter Stufe sein,
und also eine von A unabhängige Grösse c-ter Stufe C in sich fas-
sen. Und zwar muss dann C von AB unabhängig sein; denn wäre
es davon abhängig, d. h. hätte C mit AB irgend eine Grösse ge-
meinschaftlich, so würden die drei Faktoren P, Q, R diese Grösse,
also eine von A unabhängige Grösse, gemeinschaftlich enthalten,
was mit der Annahme streitet. Somit sind nun der Grösse P drei

Das eingewandte Produkt. § 139
Denn nach dem vorigen Paragraphen hat man Beziehungsgrössen
so mit einander zu multipliciren, dass man ihre eigenthümlichen
Werthe in Bezug auf ein und dasselbe Hauptmass mit einander
multiplicirt und dem Produkte, gleichviel auf welcher Stelle, so oft
das Hauptmass als Faktor hinzufügt, als es in beiden Grössen zu-
sammen als Faktor enthalten war. Da man hiernach also in einem
Produkte überhaupt jeden Faktor, der das Hauptmass darstellt, auf
eine beliebige Stelle setzen und beliebig aus einer Klammer her-
aus oder in eine solche hineinrücken kann, so folgt, dass jenes
Gesetz, wenn es für reine Grössen gilt, es auch für Beziehungs-
grössen, also allgemein gelte. Nun gilt es zunächst nach den Ge-
setzen der äusseren Multiplikation für äussere Produkte reiner Grös-
sen, also auch für äussere Produkte überhaupt. Es bleibt also nur
zu beweisen übrig, dass es auch für das reine eingewandte Produkt
reiner Grössen gelte. In diesem Falle kommt es darauf an zu zei-
gen, dass P, Q, R, wenn das eingewandte Produkt einen geltenden
Werth hat, sich in den Formen ABC, ABD, ADC darstellen lassen,
so dass zugleich ABCD das Hauptsystem darstellt. Es seien die
Ergänzzahlen der Grössen P, Q, R beziehlich d, c, b, so ist die
Ergänzzahl des Produktes oder des den drei Faktoren gemein-
schaftlichen Systemes A nach § 138 (am Schlusse) gleich der
Summe jener Zahlen, also gleich b + c + d; und ist also a die
Stufenzahl jenes gemeinschaftlichen Systemes, so ist die des Haupt-
systemes gleich a + b + c + d. Zwei der Faktoren, z. B. P und
Q, werden nach demselben Satze ein System gemeinschaftlich ha-
ben, dessen Ergänzzahl die Summe ist aus den Ergänzzahlen jener
Faktoren, also hier gleich c + d ist; also ist die Stufenzahl dieses
gemeinschaftlichen Systemes gleich a + b; es wird somit dies Sy-
stem durch ein Produkt AB dargestellt werden können, in welchem
B von b-ter Stufe und von A unabhängig ist. Ebenso wird das
dem P und R gemeinschaftliche System von a + c-ter Stufe sein,
und also eine von A unabhängige Grösse c-ter Stufe C in sich fas-
sen. Und zwar muss dann C von AB unabhängig sein; denn wäre
es davon abhängig, d. h. hätte C mit AB irgend eine Grösse ge-
meinschaftlich, so würden die drei Faktoren P, Q, R diese Grösse,
also eine von A unabhängige Grösse, gemeinschaftlich enthalten,
was mit der Annahme streitet. Somit sind nun der Grösse P drei

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[208/0244] Das eingewandte Produkt. § 139 Denn nach dem vorigen Paragraphen hat man Beziehungsgrössen so mit einander zu multipliciren, dass man ihre eigenthümlichen Werthe in Bezug auf ein und dasselbe Hauptmass mit einander multiplicirt und dem Produkte, gleichviel auf welcher Stelle, so oft das Hauptmass als Faktor hinzufügt, als es in beiden Grössen zu- sammen als Faktor enthalten war. Da man hiernach also in einem Produkte überhaupt jeden Faktor, der das Hauptmass darstellt, auf eine beliebige Stelle setzen und beliebig aus einer Klammer her- aus oder in eine solche hineinrücken kann, so folgt, dass jenes Gesetz, wenn es für reine Grössen gilt, es auch für Beziehungs- grössen, also allgemein gelte. Nun gilt es zunächst nach den Ge- setzen der äusseren Multiplikation für äussere Produkte reiner Grös- sen, also auch für äussere Produkte überhaupt. Es bleibt also nur zu beweisen übrig, dass es auch für das reine eingewandte Produkt reiner Grössen gelte. In diesem Falle kommt es darauf an zu zei- gen, dass P, Q, R, wenn das eingewandte Produkt einen geltenden Werth hat, sich in den Formen ABC, ABD, ADC darstellen lassen, so dass zugleich ABCD das Hauptsystem darstellt. Es seien die Ergänzzahlen der Grössen P, Q, R beziehlich d, c, b, so ist die Ergänzzahl des Produktes oder des den drei Faktoren gemein- schaftlichen Systemes A nach § 138 (am Schlusse) gleich der Summe jener Zahlen, also gleich b + c + d; und ist also a die Stufenzahl jenes gemeinschaftlichen Systemes, so ist die des Haupt- systemes gleich a + b + c + d. Zwei der Faktoren, z. B. P und Q, werden nach demselben Satze ein System gemeinschaftlich ha- ben, dessen Ergänzzahl die Summe ist aus den Ergänzzahlen jener Faktoren, also hier gleich c + d ist; also ist die Stufenzahl dieses gemeinschaftlichen Systemes gleich a + b; es wird somit dies Sy- stem durch ein Produkt AB dargestellt werden können, in welchem B von b-ter Stufe und von A unabhängig ist. Ebenso wird das dem P und R gemeinschaftliche System von a + c-ter Stufe sein, und also eine von A unabhängige Grösse c-ter Stufe C in sich fas- sen. Und zwar muss dann C von AB unabhängig sein; denn wäre es davon abhängig, d. h. hätte C mit AB irgend eine Grösse ge- meinschaftlich, so würden die drei Faktoren P, Q, R diese Grösse, also eine von A unabhängige Grösse, gemeinschaftlich enthalten, was mit der Annahme streitet. Somit sind nun der Grösse P drei

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 208. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/244>, abgerufen am 20.05.2024.