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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 139 Zusammenfassung der Faktoren eines reinen Produktes.
von einander unabhängige Grössen A, B, C untergeordnet, also
auch ihr Produkt ABC. Es muss sich daher P als Produkt dar-
stellen lassen, dessen einer Faktor ABC ist; da P aber selbst von
(a + b + c)-ter Stufe ist, so wird der andere Faktor, den P ausser
ABC enthält, von nullter Stufe, d. h. eine blosse Zahlengrösse sein,
also P sich als Vielfaches von ABC darstellen lassen. Q und R
endlich werden aus demselben Grunde einen von A unabhängigen
Faktor D gemeinschaftlich haben, und so werden sich die Grössen
P, Q, R beziehlich als Vielfache von ABC, ABD und ADC darstel-
len lassen; ja da für die Grössen A, B, C, D nur die Systeme,
welche durch sie dargestellt werden, bestimmt sind, sie selbst also
beliebig gross angenommen werden können, so wird man diesel-
ben, wie leicht zu sehen ist, auch so annehmen können, dass die
Grössen P, Q, R jenen Werthen selbst gleich sind, also
[Formel 1] ist. Da das ganze Produkt, wie wir voraussetzten, einen geltenden
Werth haben soll, also auch z. B. das Produkt ABC.ABD, so muss
hier das nächstumfassende System, also ABCD, zugleich das Bezie-
hungssystem sein. Es ist daher dies Produkt gleich ABCD . AB;
also der ganze Ausdruck
[Formel 2] Auf dieselbe Form nun lässt sich das andere Produkt P . (Q . R)
bringen; denn Q . R oder ABD . ADC ist gleich ABDC . AD, also
[Formel 3] Da nun ABDC das Hauptsystem darstellt, so können wir nach § 138
die eigenthümlichen Werthe unter sich multipliciren und ABDC als
Faktor hinzufügen. Wir erhalten aber ABC . AD gleich ABCD . A,
also ist der obige Ausdruck
[Formel 4] Da also die beiden Produkte P . Q . R und P . (Q . R) demselben
Ausdrucke gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich. Wir
nahmen bei dieser Beweisführung an, dass die Produkte einen gel-
tenden Werth hatten. Nun können sie aber auch nur gleichzei-
tig null werden, weil nach § 138 das Nullwerden dann und nur
dann eintritt, wenn das den Faktoren gemeinschaftliche System von
höherer Stufe ist, als die Summe der Ergänzzahlen beträgt, und

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§ 139 Zusammenfassung der Faktoren eines reinen Produktes.
von einander unabhängige Grössen A, B, C untergeordnet, also
auch ihr Produkt ABC. Es muss sich daher P als Produkt dar-
stellen lassen, dessen einer Faktor ABC ist; da P aber selbst von
(a + b + c)-ter Stufe ist, so wird der andere Faktor, den P ausser
ABC enthält, von nullter Stufe, d. h. eine blosse Zahlengrösse sein,
also P sich als Vielfaches von ABC darstellen lassen. Q und R
endlich werden aus demselben Grunde einen von A unabhängigen
Faktor D gemeinschaftlich haben, und so werden sich die Grössen
P, Q, R beziehlich als Vielfache von ABC, ABD und ADC darstel-
len lassen; ja da für die Grössen A, B, C, D nur die Systeme,
welche durch sie dargestellt werden, bestimmt sind, sie selbst also
beliebig gross angenommen werden können, so wird man diesel-
ben, wie leicht zu sehen ist, auch so annehmen können, dass die
Grössen P, Q, R jenen Werthen selbst gleich sind, also
[Formel 1] ist. Da das ganze Produkt, wie wir voraussetzten, einen geltenden
Werth haben soll, also auch z. B. das Produkt ABC.ABD, so muss
hier das nächstumfassende System, also ABCD, zugleich das Bezie-
hungssystem sein. Es ist daher dies Produkt gleich ABCD . AB;
also der ganze Ausdruck
[Formel 2] Auf dieselbe Form nun lässt sich das andere Produkt P . (Q . R)
bringen; denn Q . R oder ABD . ADC ist gleich ABDC . AD, also
[Formel 3] Da nun ABDC das Hauptsystem darstellt, so können wir nach § 138
die eigenthümlichen Werthe unter sich multipliciren und ABDC als
Faktor hinzufügen. Wir erhalten aber ABC . AD gleich ABCD . A,
also ist der obige Ausdruck
[Formel 4] Da also die beiden Produkte P . Q . R und P . (Q . R) demselben
Ausdrucke gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich. Wir
nahmen bei dieser Beweisführung an, dass die Produkte einen gel-
tenden Werth hatten. Nun können sie aber auch nur gleichzei-
tig null werden, weil nach § 138 das Nullwerden dann und nur
dann eintritt, wenn das den Faktoren gemeinschaftliche System von
höherer Stufe ist, als die Summe der Ergänzzahlen beträgt, und

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[209/0245] § 139 Zusammenfassung der Faktoren eines reinen Produktes. von einander unabhängige Grössen A, B, C untergeordnet, also auch ihr Produkt ABC. Es muss sich daher P als Produkt dar- stellen lassen, dessen einer Faktor ABC ist; da P aber selbst von (a + b + c)-ter Stufe ist, so wird der andere Faktor, den P ausser ABC enthält, von nullter Stufe, d. h. eine blosse Zahlengrösse sein, also P sich als Vielfaches von ABC darstellen lassen. Q und R endlich werden aus demselben Grunde einen von A unabhängigen Faktor D gemeinschaftlich haben, und so werden sich die Grössen P, Q, R beziehlich als Vielfache von ABC, ABD und ADC darstel- len lassen; ja da für die Grössen A, B, C, D nur die Systeme, welche durch sie dargestellt werden, bestimmt sind, sie selbst also beliebig gross angenommen werden können, so wird man diesel- ben, wie leicht zu sehen ist, auch so annehmen können, dass die Grössen P, Q, R jenen Werthen selbst gleich sind, also [FORMEL] ist. Da das ganze Produkt, wie wir voraussetzten, einen geltenden Werth haben soll, also auch z. B. das Produkt ABC.ABD, so muss hier das nächstumfassende System, also ABCD, zugleich das Bezie- hungssystem sein. Es ist daher dies Produkt gleich ABCD . AB; also der ganze Ausdruck [FORMEL] Auf dieselbe Form nun lässt sich das andere Produkt P . (Q . R) bringen; denn Q . R oder ABD . ADC ist gleich ABDC . AD, also [FORMEL] Da nun ABDC das Hauptsystem darstellt, so können wir nach § 138 die eigenthümlichen Werthe unter sich multipliciren und ABDC als Faktor hinzufügen. Wir erhalten aber ABC . AD gleich ABCD . A, also ist der obige Ausdruck [FORMEL] Da also die beiden Produkte P . Q . R und P . (Q . R) demselben Ausdrucke gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich. Wir nahmen bei dieser Beweisführung an, dass die Produkte einen gel- tenden Werth hatten. Nun können sie aber auch nur gleichzei- tig null werden, weil nach § 138 das Nullwerden dann und nur dann eintritt, wenn das den Faktoren gemeinschaftliche System von höherer Stufe ist, als die Summe der Ergänzzahlen beträgt, und 14

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 209. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/245>, abgerufen am 20.05.2024.