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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 140
dies bei beiden Produkten nur gleichzeitig eintreten kann. Also
bleibt auch für diesen Fall die Gleichheit beider Produkte beste-
hen. Das Gesetz gilt daher allgemein für reine Grössen, also muss
es nun auch, wie wir oben sahen, für Beziehungsgrössen gelten;
so dass allgemein für die reine Multiplikation überhaupt
[Formel 1] ist. Da nun endlich das Zusammenfassungsgesetz, wenn es für drei
Faktoren gilt, auch für beliebig viele gelten muss (§ 3), so ergiebt
sich der allgemeine Satz:

"Die Faktoren eines reinen Produktes lassen sich beliebig zu-
sammenfassen."

§ 140. Für die Addition der Beziehungsgrössen bietet sich
das allgemeine multiplikative Beziehungsgesetz als begriffsbestim-
mend dar. Man hat dann nur beide auf die Form der Unterord-
nung zu bringen. Auf diese Form gebracht, erscheinen dann beide
als summirbar, wenn einestheils das Hauptmass in beiden gleich-
vielmal als Faktor erscheint, und anderntheils die Grössen selbst
eine gleiche Stufenzahl haben; und zwar werden sie dann addirt,
indem man die eigenthümlichen Werthe addirt, und der Summe
das Hauptmass so oft als Faktor hinzufügt, als es in jedem der
Produkte als Faktor enthalten war *). Das allgemeine Beziehungs-
gesetz ist, dass
[Formel 2] und
[Formel 3] sei. Die Gültigkeit desselben haben wir zunächst nur für den Fall
nachzuweisen, dass die Grössen P, Q, R reine sind; indem das
Hinzutreten beliebiger Faktoren, die das Hauptmass darstellen, auf
welches sich die Grössen beziehen, nichts ändern kann. Wir neh-
men daher zuerst an, P, Q, R seien reine Grössen. Es sei, um
die Stücke der Summe
[Formel 4] auf die Form der Unterordnung zu bringen, Q = AB, wo A dem

*) Diese Bestimmung dient eben als Definition, indem wir unter der Summe
zweier Beziehungsgrössen die auf die angegebene Weise gebildete Summe ver-
stehen.

Das eingewandte Produkt. § 140
dies bei beiden Produkten nur gleichzeitig eintreten kann. Also
bleibt auch für diesen Fall die Gleichheit beider Produkte beste-
hen. Das Gesetz gilt daher allgemein für reine Grössen, also muss
es nun auch, wie wir oben sahen, für Beziehungsgrössen gelten;
so dass allgemein für die reine Multiplikation überhaupt
[Formel 1] ist. Da nun endlich das Zusammenfassungsgesetz, wenn es für drei
Faktoren gilt, auch für beliebig viele gelten muss (§ 3), so ergiebt
sich der allgemeine Satz:

„Die Faktoren eines reinen Produktes lassen sich beliebig zu-
sammenfassen.“

§ 140. Für die Addition der Beziehungsgrössen bietet sich
das allgemeine multiplikative Beziehungsgesetz als begriffsbestim-
mend dar. Man hat dann nur beide auf die Form der Unterord-
nung zu bringen. Auf diese Form gebracht, erscheinen dann beide
als summirbar, wenn einestheils das Hauptmass in beiden gleich-
vielmal als Faktor erscheint, und anderntheils die Grössen selbst
eine gleiche Stufenzahl haben; und zwar werden sie dann addirt,
indem man die eigenthümlichen Werthe addirt, und der Summe
das Hauptmass so oft als Faktor hinzufügt, als es in jedem der
Produkte als Faktor enthalten war *). Das allgemeine Beziehungs-
gesetz ist, dass
[Formel 2] und
[Formel 3] sei. Die Gültigkeit desselben haben wir zunächst nur für den Fall
nachzuweisen, dass die Grössen P, Q, R reine sind; indem das
Hinzutreten beliebiger Faktoren, die das Hauptmass darstellen, auf
welches sich die Grössen beziehen, nichts ändern kann. Wir neh-
men daher zuerst an, P, Q, R seien reine Grössen. Es sei, um
die Stücke der Summe
[Formel 4] auf die Form der Unterordnung zu bringen, Q = AB, wo A dem

*) Diese Bestimmung dient eben als Definition, indem wir unter der Summe
zweier Beziehungsgrössen die auf die angegebene Weise gebildete Summe ver-
stehen.
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[210/0246] Das eingewandte Produkt. § 140 dies bei beiden Produkten nur gleichzeitig eintreten kann. Also bleibt auch für diesen Fall die Gleichheit beider Produkte beste- hen. Das Gesetz gilt daher allgemein für reine Grössen, also muss es nun auch, wie wir oben sahen, für Beziehungsgrössen gelten; so dass allgemein für die reine Multiplikation überhaupt [FORMEL] ist. Da nun endlich das Zusammenfassungsgesetz, wenn es für drei Faktoren gilt, auch für beliebig viele gelten muss (§ 3), so ergiebt sich der allgemeine Satz: „Die Faktoren eines reinen Produktes lassen sich beliebig zu- sammenfassen.“ § 140. Für die Addition der Beziehungsgrössen bietet sich das allgemeine multiplikative Beziehungsgesetz als begriffsbestim- mend dar. Man hat dann nur beide auf die Form der Unterord- nung zu bringen. Auf diese Form gebracht, erscheinen dann beide als summirbar, wenn einestheils das Hauptmass in beiden gleich- vielmal als Faktor erscheint, und anderntheils die Grössen selbst eine gleiche Stufenzahl haben; und zwar werden sie dann addirt, indem man die eigenthümlichen Werthe addirt, und der Summe das Hauptmass so oft als Faktor hinzufügt, als es in jedem der Produkte als Faktor enthalten war *). Das allgemeine Beziehungs- gesetz ist, dass [FORMEL] und [FORMEL] sei. Die Gültigkeit desselben haben wir zunächst nur für den Fall nachzuweisen, dass die Grössen P, Q, R reine sind; indem das Hinzutreten beliebiger Faktoren, die das Hauptmass darstellen, auf welches sich die Grössen beziehen, nichts ändern kann. Wir neh- men daher zuerst an, P, Q, R seien reine Grössen. Es sei, um die Stücke der Summe [FORMEL] auf die Form der Unterordnung zu bringen, Q = AB, wo A dem *) Diese Bestimmung dient eben als Definition, indem wir unter der Summe zweier Beziehungsgrössen die auf die angegebene Weise gebildete Summe ver- stehen.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 210. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/246>, abgerufen am 20.05.2024.