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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 140 Addition der Beziehungsgrössen.
P untergeordnet ist, PB aber das Hauptsystem darstellt, auf wel-
ches sich die Multiplikation bezieht, und gleich H gesetzt werden
mag, und eben so sei R = CD, wo C dem P untergeordnet ist und
PD das Hauptsystem darstellt. Da hier D beliebig gross angenom-
men werden kann (indem C dann nur im umgekehrten Verhält-
nisse wie D geändert werden muss), so kann man es so anneh-
men, dass
[Formel 1] wird. Dann ist
[Formel 2] ,
letzteres nach der Definition. Auf dieselbe Form nun können wir
auch P . (Q + R) bringen. Nämlich da PD gleich PB ist, so folgt,
dass D auch gleich B plus einer von P abhängigen Grösse, die wir
K nennen wollen, gesetzt werden könne; somit ist R, was gleich
CD gesetzt war, gleich C (B + K), oder gleich CB + CK. Also ist
[Formel 3] Da hier K von P abhängig ist, CK also von P in einem höheren
Grade abhängt als CB, so kann es mit P kein geltendes Produkt
liefern, kann also nach § 125 weggelassen werden. Es ist also
der obige Ausdruck
[Formel 4] Da hier A und C, also auch (A + C) dem P untergeordnet sind, PB
aber oder H das Hauptsystem darstellt, so ist der letzte Ausdruck
wieder
[Formel 5] Also sind die beiden zu vergleichenden Ausdrücke P . (Q + R)
und P . Q + P . R demselben dritten Ausdrucke gleich, also auch
beide unter sich gleich. Kommt nun ferner zu P das Hauptmass
mehrmals, etwa m mal, als Faktor hinzu, und eben so auch zu Q
und R, zu den letzteren aber gleichvielmal, damit sie summirbar
bleiben, etwa n mal; so ist das so gut, als käme H zu jedem von
den beiden Ausdrücken (m + n) mal als Faktor hinzu, also bleiben
sie gleich, wenn sie es vorher waren. Da nun endlich dasselbe
sich auch von den beiden Ausdrücken (Q + R) . P und Q . P + R . P
sagen lässt, so folgt, dass das multiplikative Beziehungsgesetz auch
für diese neuen Arten der Addition und Multiplikation ganz allge-

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§ 140 Addition der Beziehungsgrössen.
P untergeordnet ist, PB aber das Hauptsystem darstellt, auf wel-
ches sich die Multiplikation bezieht, und gleich H gesetzt werden
mag, und eben so sei R = CD, wo C dem P untergeordnet ist und
PD das Hauptsystem darstellt. Da hier D beliebig gross angenom-
men werden kann (indem C dann nur im umgekehrten Verhält-
nisse wie D geändert werden muss), so kann man es so anneh-
men, dass
[Formel 1] wird. Dann ist
[Formel 2] ,
letzteres nach der Definition. Auf dieselbe Form nun können wir
auch P . (Q + R) bringen. Nämlich da PD gleich PB ist, so folgt,
dass D auch gleich B plus einer von P abhängigen Grösse, die wir
K nennen wollen, gesetzt werden könne; somit ist R, was gleich
CD gesetzt war, gleich C (B + K), oder gleich CB + CK. Also ist
[Formel 3] Da hier K von P abhängig ist, CK also von P in einem höheren
Grade abhängt als CB, so kann es mit P kein geltendes Produkt
liefern, kann also nach § 125 weggelassen werden. Es ist also
der obige Ausdruck
[Formel 4] Da hier A und C, also auch (A + C) dem P untergeordnet sind, PB
aber oder H das Hauptsystem darstellt, so ist der letzte Ausdruck
wieder
[Formel 5] Also sind die beiden zu vergleichenden Ausdrücke P . (Q + R)
und P . Q + P . R demselben dritten Ausdrucke gleich, also auch
beide unter sich gleich. Kommt nun ferner zu P das Hauptmass
mehrmals, etwa m mal, als Faktor hinzu, und eben so auch zu Q
und R, zu den letzteren aber gleichvielmal, damit sie summirbar
bleiben, etwa n mal; so ist das so gut, als käme H zu jedem von
den beiden Ausdrücken (m + n) mal als Faktor hinzu, also bleiben
sie gleich, wenn sie es vorher waren. Da nun endlich dasselbe
sich auch von den beiden Ausdrücken (Q + R) . P und Q . P + R . P
sagen lässt, so folgt, dass das multiplikative Beziehungsgesetz auch
für diese neuen Arten der Addition und Multiplikation ganz allge-

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[211/0247] § 140 Addition der Beziehungsgrössen. P untergeordnet ist, PB aber das Hauptsystem darstellt, auf wel- ches sich die Multiplikation bezieht, und gleich H gesetzt werden mag, und eben so sei R = CD, wo C dem P untergeordnet ist und PD das Hauptsystem darstellt. Da hier D beliebig gross angenom- men werden kann (indem C dann nur im umgekehrten Verhält- nisse wie D geändert werden muss), so kann man es so anneh- men, dass [FORMEL] wird. Dann ist [FORMEL], letzteres nach der Definition. Auf dieselbe Form nun können wir auch P . (Q + R) bringen. Nämlich da PD gleich PB ist, so folgt, dass D auch gleich B plus einer von P abhängigen Grösse, die wir K nennen wollen, gesetzt werden könne; somit ist R, was gleich CD gesetzt war, gleich C (B + K), oder gleich CB + CK. Also ist [FORMEL] Da hier K von P abhängig ist, CK also von P in einem höheren Grade abhängt als CB, so kann es mit P kein geltendes Produkt liefern, kann also nach § 125 weggelassen werden. Es ist also der obige Ausdruck [FORMEL] Da hier A und C, also auch (A + C) dem P untergeordnet sind, PB aber oder H das Hauptsystem darstellt, so ist der letzte Ausdruck wieder [FORMEL] Also sind die beiden zu vergleichenden Ausdrücke P . (Q + R) und P . Q + P . R demselben dritten Ausdrucke gleich, also auch beide unter sich gleich. Kommt nun ferner zu P das Hauptmass mehrmals, etwa m mal, als Faktor hinzu, und eben so auch zu Q und R, zu den letzteren aber gleichvielmal, damit sie summirbar bleiben, etwa n mal; so ist das so gut, als käme H zu jedem von den beiden Ausdrücken (m + n) mal als Faktor hinzu, also bleiben sie gleich, wenn sie es vorher waren. Da nun endlich dasselbe sich auch von den beiden Ausdrücken (Q + R) . P und Q . P + R . P sagen lässt, so folgt, dass das multiplikative Beziehungsgesetz auch für diese neuen Arten der Addition und Multiplikation ganz allge- 14 *

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 211. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/247>, abgerufen am 19.05.2024.