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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 141
mein gilt. Somit gelten nun auch alle Gesetze, die darauf gegrün-
det sind, d. h.

"Alle Gesetze, welche die Beziehung der Multiplikation und
Division zur Addition und Subtraktion ausdrücken, gelten noch
immer allgemein für jede Art der Addition und Multiplikation,
die bisher festgestellt ist."

§ 141. Für die Division ergiebt sich sogleich, dass sie nur
dann real ist, wenn Divisor und Dividend einander eingeordnet
sind, d. h. wenn entweder der Divisor dem Dividend untergeordnet
ist, oder dieser jenem. Im ersteren Falle ist die Division eine
äussere, im letzteren eine eingewandte; wenn daher beide Fälle
zugleich eintreten, d. h. wenn Divisor und Dividend einander gleich-
artig sind, so kann die Division sowohl als äussere, wie auch als
eingewandte aufgefasst werden. Und zwar gelten diese Bestim-
mungen nicht nur, wenn die zu verknüpfenden Grössen reine Grös-
sen, sondern auch wenn sie Beziehungsgrössen sind. In dem letz-
teren Falle kommt es dann darauf an, dass die eigenthümlichen
Werthe in der angegebenen Beziehung stehen, während das Haupt-
system, auf welches sich beide Grössen beziehen, dasselbe ist.
Hierbei kann dann der Fall eintreten, dass das Hauptmass im Di-
visor öfter als im Dividend als Faktor vorkommt; der Quotient er-
scheint dann als eine reine Grösse, welche mehrmals durch das
Hauptmass dividirt ist, oder welche mit einer Potenz des Haupt-
masses multiplicirt ist, deren Exponent negativ ist. Wir fassen
daher auch diese neue Grösse als Beziehungsgrösse auf, und nen-
nen den Exponenten derjenigen Potenz des Hauptmasses, mit wel-
cher der eigenthümliche Werth einer Beziehungsgrösse durch Mul-
tiplikation verbunden ist, den Grad der Beziehungsgrösse. Es ist
somit die neue Grösse eine Beziehungsgrösse, deren Grad negativ
ist, während der Grad der vorher betrachteten positiv war, und
auch die reine Grösse kann nun als Beziehungsgrösse nullten Gra-
des aufgefasst werden. Hierbei muss ich noch bemerken, dass
die Grössen nullter Stufe, und die das Hauptsystem darstellenden
Grössen, d. h. die Grössen o-ter und h-ter Stufe (wenn h die
Stufenzahl des Hauptsystems ist) auf eine zwiefache Weise aufge-
fasst werden können. Nämlich "eine Grösse nullter Stufe und
n-ten Grades kann als Grösse h-ter Stufe und (n--1)ten Grades

Das eingewandte Produkt. § 141
mein gilt. Somit gelten nun auch alle Gesetze, die darauf gegrün-
det sind, d. h.

„Alle Gesetze, welche die Beziehung der Multiplikation und
Division zur Addition und Subtraktion ausdrücken, gelten noch
immer allgemein für jede Art der Addition und Multiplikation,
die bisher festgestellt ist.“

§ 141. Für die Division ergiebt sich sogleich, dass sie nur
dann real ist, wenn Divisor und Dividend einander eingeordnet
sind, d. h. wenn entweder der Divisor dem Dividend untergeordnet
ist, oder dieser jenem. Im ersteren Falle ist die Division eine
äussere, im letzteren eine eingewandte; wenn daher beide Fälle
zugleich eintreten, d. h. wenn Divisor und Dividend einander gleich-
artig sind, so kann die Division sowohl als äussere, wie auch als
eingewandte aufgefasst werden. Und zwar gelten diese Bestim-
mungen nicht nur, wenn die zu verknüpfenden Grössen reine Grös-
sen, sondern auch wenn sie Beziehungsgrössen sind. In dem letz-
teren Falle kommt es dann darauf an, dass die eigenthümlichen
Werthe in der angegebenen Beziehung stehen, während das Haupt-
system, auf welches sich beide Grössen beziehen, dasselbe ist.
Hierbei kann dann der Fall eintreten, dass das Hauptmass im Di-
visor öfter als im Dividend als Faktor vorkommt; der Quotient er-
scheint dann als eine reine Grösse, welche mehrmals durch das
Hauptmass dividirt ist, oder welche mit einer Potenz des Haupt-
masses multiplicirt ist, deren Exponent negativ ist. Wir fassen
daher auch diese neue Grösse als Beziehungsgrösse auf, und nen-
nen den Exponenten derjenigen Potenz des Hauptmasses, mit wel-
cher der eigenthümliche Werth einer Beziehungsgrösse durch Mul-
tiplikation verbunden ist, den Grad der Beziehungsgrösse. Es ist
somit die neue Grösse eine Beziehungsgrösse, deren Grad negativ
ist, während der Grad der vorher betrachteten positiv war, und
auch die reine Grösse kann nun als Beziehungsgrösse nullten Gra-
des aufgefasst werden. Hierbei muss ich noch bemerken, dass
die Grössen nullter Stufe, und die das Hauptsystem darstellenden
Grössen, d. h. die Grössen o-ter und h-ter Stufe (wenn h die
Stufenzahl des Hauptsystems ist) auf eine zwiefache Weise aufge-
fasst werden können. Nämlich „eine Grösse nullter Stufe und
n-ten Grades kann als Grösse h-ter Stufe und (n—1)ten Grades

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[212/0248] Das eingewandte Produkt. § 141 mein gilt. Somit gelten nun auch alle Gesetze, die darauf gegrün- det sind, d. h. „Alle Gesetze, welche die Beziehung der Multiplikation und Division zur Addition und Subtraktion ausdrücken, gelten noch immer allgemein für jede Art der Addition und Multiplikation, die bisher festgestellt ist.“ § 141. Für die Division ergiebt sich sogleich, dass sie nur dann real ist, wenn Divisor und Dividend einander eingeordnet sind, d. h. wenn entweder der Divisor dem Dividend untergeordnet ist, oder dieser jenem. Im ersteren Falle ist die Division eine äussere, im letzteren eine eingewandte; wenn daher beide Fälle zugleich eintreten, d. h. wenn Divisor und Dividend einander gleich- artig sind, so kann die Division sowohl als äussere, wie auch als eingewandte aufgefasst werden. Und zwar gelten diese Bestim- mungen nicht nur, wenn die zu verknüpfenden Grössen reine Grös- sen, sondern auch wenn sie Beziehungsgrössen sind. In dem letz- teren Falle kommt es dann darauf an, dass die eigenthümlichen Werthe in der angegebenen Beziehung stehen, während das Haupt- system, auf welches sich beide Grössen beziehen, dasselbe ist. Hierbei kann dann der Fall eintreten, dass das Hauptmass im Di- visor öfter als im Dividend als Faktor vorkommt; der Quotient er- scheint dann als eine reine Grösse, welche mehrmals durch das Hauptmass dividirt ist, oder welche mit einer Potenz des Haupt- masses multiplicirt ist, deren Exponent negativ ist. Wir fassen daher auch diese neue Grösse als Beziehungsgrösse auf, und nen- nen den Exponenten derjenigen Potenz des Hauptmasses, mit wel- cher der eigenthümliche Werth einer Beziehungsgrösse durch Mul- tiplikation verbunden ist, den Grad der Beziehungsgrösse. Es ist somit die neue Grösse eine Beziehungsgrösse, deren Grad negativ ist, während der Grad der vorher betrachteten positiv war, und auch die reine Grösse kann nun als Beziehungsgrösse nullten Gra- des aufgefasst werden. Hierbei muss ich noch bemerken, dass die Grössen nullter Stufe, und die das Hauptsystem darstellenden Grössen, d. h. die Grössen o-ter und h-ter Stufe (wenn h die Stufenzahl des Hauptsystems ist) auf eine zwiefache Weise aufge- fasst werden können. Nämlich „eine Grösse nullter Stufe und n-ten Grades kann als Grösse h-ter Stufe und (n—1)ten Grades

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 212. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/248>, abgerufen am 22.11.2024.