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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 152
den wir gleichfalls mit A bezeichnen, wird dann dargestellt durch
die Gleichung
[Formel 1] Nach dieser Analogie wird man sich leicht eine Anschauung bilden
können von der Projektion eines Punktes oder einer Linie, wenn
das Grundsystem eine Ebene, das Leitsystem ein Punkt oder eine
Richtung ist, ferner von der eines Punktes oder einer Ebene, wenn
Leitsystem und Grundsystem Linien sind, endlich von der einer
Linie oder Ebene, wenn das Grundsystem ein Punkt, das Leit-
system eine Ebene ist. Ist die abzuschattende Grösse von gleicher
Stufe mit dem Grundsystem, so zeigt sich leicht, dass die Projek-
tion ihres Systemes das Grundsystem selbst ist, dass also das
Wesen der Abschattung dann nur in dem Masswerthe derselben
beruht.

§ 152. Wir haben nun die Geltung der im zweiten Kapitel
dieses Abschnittes (von § 81 an) für die dort behandelte Art der
Abschattung erwiesenen Gesetze auch für den so eben dargestell-
ten allgemeineren Begriff derselben zu untersuchen. Dass diese
Sätze noch gelten, wenn man statt der Ausdehnungsgrössen Ele-
mentargrössen setzt, folgte schon aus der vollkommenen Ueberein-
stimmung zwischen den Gesetzen, die für beiderlei Grössen gelten
(s. § 108). Es ist also die Geltung derselben nur noch für die
eingewandte Abschattung darzulegen, und zugleich sind jene Sätze
noch so zu erweitern, dass man auch statt der äusseren Multipli-
kation die eingewandte einführt. Vergleichen wir den von § 81
an gewählten Gang der Entwickelung, so können wir zunächst den
am Schlusse jenes Paragraphen aufgestellten Satz für das einge-
wandte Produkt in folgender Form darstellen:

"Wenn die Glieder einer Gleichung sämmtlich eingewandte
Produkte zu zwei Faktoren sind, und entweder der erste oder
der letzte Faktor (L) in allen diesen Gliedern derselbe ist,
die ungleichen Faktoren aber demselben Systeme (G) über-
geordnet sind, und dies System (G) mit dem gleichen Faktor
L multiplicirt das Hauptsystem liefert, so kann man den Fak-
tor L in allen Gliedern weg lassen."

In der That werden sich dann die ungleichen Faktoren in den

Verwandtschaftsbeziehungen. § 152
den wir gleichfalls mit A bezeichnen, wird dann dargestellt durch
die Gleichung
[Formel 1] Nach dieser Analogie wird man sich leicht eine Anschauung bilden
können von der Projektion eines Punktes oder einer Linie, wenn
das Grundsystem eine Ebene, das Leitsystem ein Punkt oder eine
Richtung ist, ferner von der eines Punktes oder einer Ebene, wenn
Leitsystem und Grundsystem Linien sind, endlich von der einer
Linie oder Ebene, wenn das Grundsystem ein Punkt, das Leit-
system eine Ebene ist. Ist die abzuschattende Grösse von gleicher
Stufe mit dem Grundsystem, so zeigt sich leicht, dass die Projek-
tion ihres Systemes das Grundsystem selbst ist, dass also das
Wesen der Abschattung dann nur in dem Masswerthe derselben
beruht.

§ 152. Wir haben nun die Geltung der im zweiten Kapitel
dieses Abschnittes (von § 81 an) für die dort behandelte Art der
Abschattung erwiesenen Gesetze auch für den so eben dargestell-
ten allgemeineren Begriff derselben zu untersuchen. Dass diese
Sätze noch gelten, wenn man statt der Ausdehnungsgrössen Ele-
mentargrössen setzt, folgte schon aus der vollkommenen Ueberein-
stimmung zwischen den Gesetzen, die für beiderlei Grössen gelten
(s. § 108). Es ist also die Geltung derselben nur noch für die
eingewandte Abschattung darzulegen, und zugleich sind jene Sätze
noch so zu erweitern, dass man auch statt der äusseren Multipli-
kation die eingewandte einführt. Vergleichen wir den von § 81
an gewählten Gang der Entwickelung, so können wir zunächst den
am Schlusse jenes Paragraphen aufgestellten Satz für das einge-
wandte Produkt in folgender Form darstellen:

„Wenn die Glieder einer Gleichung sämmtlich eingewandte
Produkte zu zwei Faktoren sind, und entweder der erste oder
der letzte Faktor (L) in allen diesen Gliedern derselbe ist,
die ungleichen Faktoren aber demselben Systeme (G) über-
geordnet sind, und dies System (G) mit dem gleichen Faktor
L multiplicirt das Hauptsystem liefert, so kann man den Fak-
tor L in allen Gliedern weg lassen.“

In der That werden sich dann die ungleichen Faktoren in den

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[232/0268] Verwandtschaftsbeziehungen. § 152 den wir gleichfalls mit A bezeichnen, wird dann dargestellt durch die Gleichung [FORMEL] Nach dieser Analogie wird man sich leicht eine Anschauung bilden können von der Projektion eines Punktes oder einer Linie, wenn das Grundsystem eine Ebene, das Leitsystem ein Punkt oder eine Richtung ist, ferner von der eines Punktes oder einer Ebene, wenn Leitsystem und Grundsystem Linien sind, endlich von der einer Linie oder Ebene, wenn das Grundsystem ein Punkt, das Leit- system eine Ebene ist. Ist die abzuschattende Grösse von gleicher Stufe mit dem Grundsystem, so zeigt sich leicht, dass die Projek- tion ihres Systemes das Grundsystem selbst ist, dass also das Wesen der Abschattung dann nur in dem Masswerthe derselben beruht. § 152. Wir haben nun die Geltung der im zweiten Kapitel dieses Abschnittes (von § 81 an) für die dort behandelte Art der Abschattung erwiesenen Gesetze auch für den so eben dargestell- ten allgemeineren Begriff derselben zu untersuchen. Dass diese Sätze noch gelten, wenn man statt der Ausdehnungsgrössen Ele- mentargrössen setzt, folgte schon aus der vollkommenen Ueberein- stimmung zwischen den Gesetzen, die für beiderlei Grössen gelten (s. § 108). Es ist also die Geltung derselben nur noch für die eingewandte Abschattung darzulegen, und zugleich sind jene Sätze noch so zu erweitern, dass man auch statt der äusseren Multipli- kation die eingewandte einführt. Vergleichen wir den von § 81 an gewählten Gang der Entwickelung, so können wir zunächst den am Schlusse jenes Paragraphen aufgestellten Satz für das einge- wandte Produkt in folgender Form darstellen: „Wenn die Glieder einer Gleichung sämmtlich eingewandte Produkte zu zwei Faktoren sind, und entweder der erste oder der letzte Faktor (L) in allen diesen Gliedern derselbe ist, die ungleichen Faktoren aber demselben Systeme (G) über- geordnet sind, und dies System (G) mit dem gleichen Faktor L multiplicirt das Hauptsystem liefert, so kann man den Fak- tor L in allen Gliedern weg lassen.“ In der That werden sich dann die ungleichen Faktoren in den

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 232. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/268>, abgerufen am 22.11.2024.