Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 154 Affinität. Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischenden Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be- ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei- tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin- den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht, zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. -- Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös- sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol- chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h. welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver- eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen- relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri- gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen, dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die- selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr- schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent- sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit *) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt. § 154 Affinität. Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischenden Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be- ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei- tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin- den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht, zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. — Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös- sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol- chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h. welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver- eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen- relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri- gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen, dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die- selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr- schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent- sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit *) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0275" n="239"/><fw place="top" type="header">§ 154 Affinität.</fw><lb/> Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischen<lb/> den Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine<lb/> von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be-<lb/> ziehung zu einander stehen, nennen wir <hi rendition="#g">affin</hi> <note place="foot" n="*)">Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem<lb/> gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen<lb/> angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern<lb/> allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt.</note>. Diese Gegensei-<lb/> tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede<lb/> einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine<lb/> von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch<lb/> unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in<lb/> C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B<lb/> herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin-<lb/> den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht,<lb/> zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. —<lb/> Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös-<lb/> sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem<lb/> in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol-<lb/> chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.<lb/> welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver-<lb/> eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen-<lb/> relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri-<lb/> gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen,<lb/> dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die-<lb/> selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr-<lb/> schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter<lb/> sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende<lb/> annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten<lb/> Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste<lb/> als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt<lb/> und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent-<lb/> sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung <hi rendition="#g">nur</hi><lb/> dann und <hi rendition="#g">immer</hi> dann eine gegenseitige ist, die Vereine also<lb/> einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten<lb/> Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [239/0275]
§ 154 Affinität.
Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischen
den Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine
von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be-
ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei-
tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede
einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine
von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch
unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in
C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B
herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin-
den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht,
zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. —
Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös-
sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem
in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol-
chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.
welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver-
eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen-
relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri-
gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen,
dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die-
selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr-
schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter
sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende
annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten
Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste
als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt
und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent-
sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur
dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also
einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten
Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit
*) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen
angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern
allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 239. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/275>, abgerufen am 22.11.2024. |
