Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 171 Begriff offner Produkte. gen Faktoren schon zu einem Produkte zusammengefasst seien. Inder Aufhebung dieser Einseitigkeit nun liegt das Princip der Be- handlung jener Produkte. Es sei A1 P . B1 + A2P . B2 eine solche Summe zweier gemischten Produkte, in welchen P der gemein- schaftliche Faktor ist, und die beiden letzten Faktoren nicht zu Ei- nem Produkt vereinigt werden dürfen; so kann man statt dessen auch nicht [] (A1 B1 + A2 B2) . P setzen; sondern wenn wir einen solchen Ausdruck, wie es die Analogie der Multiplikation fordert, einführen wollen, so müssen wir die Stelle des Produktes, in wel- che P einrücken soll, bezeichnen. Es sei diese Stelle durch eine leer gelassene Klammer bezeichnet, so dass [Formel 1] und [Formel 2] sei, und es werde ein solches Produkt mit leer gelassener Stelle ein offnes genannt. Treten mehrere Faktoren hinzu, von denen nur Einer in die Lücke eintreten soll, so kann dieser durch die- selbe Klammer ausgezeichnet werden, durch welche die Lücke be- zeichnet ist. Sind zwei oder mehr Lücken in dem Produkte, so müssen die Klammerbezeichnungen verschieden sein, wenn ver- schiedene Faktoren in dieselben eintreten sollen. Wir betrachten hier indessen nur die Produkte mit Einer Lücke, deren Summe formell dadurch bestimmt ist, dass die multiplikative Beziehung be- stehen bleibt. Wir werden daher zwei Summen von offnen Pro- dukten, da sie nur durch ihre Multiplikation mit andern Grössen ihrem Begriffe nach bestimmt sind, dann und nur dann als gleich zu setzen haben, wenn sie mit jeder beliebigen, aber beide mit der- selben Grösse multiplicirt, gleiches Produkt liefern. *) Es kommt also darauf an, die konstanten Beziehungen zwischen den in jenem Summenausdrucke vorkommenden Grössen, die wir als veränderlich setzen können, auszumitteln, wenn eben der Summenwerth konstant bleiben soll. Je einfacher und anschaulicher diese konstanten Be- ziehungen aufgefasst sein werden, desto einfacher und anschau- licher wird der Begriff jener Summe sein, welcher eben als die Ge- *) Wenn auch nur mit jeder Grösse von gegebener Stufe, wobei dann jener
Summenwerth zugleich von der Stufenzahl abhängig bleibt. § 171 Begriff offner Produkte. gen Faktoren schon zu einem Produkte zusammengefasst seien. Inder Aufhebung dieser Einseitigkeit nun liegt das Princip der Be- handlung jener Produkte. Es sei A1 P . B1 + A2P . B2 eine solche Summe zweier gemischten Produkte, in welchen P der gemein- schaftliche Faktor ist, und die beiden letzten Faktoren nicht zu Ei- nem Produkt vereinigt werden dürfen; so kann man statt dessen auch nicht [∓] (A1 B1 + A2 B2) . P setzen; sondern wenn wir einen solchen Ausdruck, wie es die Analogie der Multiplikation fordert, einführen wollen, so müssen wir die Stelle des Produktes, in wel- che P einrücken soll, bezeichnen. Es sei diese Stelle durch eine leer gelassene Klammer bezeichnet, so dass [Formel 1] und [Formel 2] sei, und es werde ein solches Produkt mit leer gelassener Stelle ein offnes genannt. Treten mehrere Faktoren hinzu, von denen nur Einer in die Lücke eintreten soll, so kann dieser durch die- selbe Klammer ausgezeichnet werden, durch welche die Lücke be- zeichnet ist. Sind zwei oder mehr Lücken in dem Produkte, so müssen die Klammerbezeichnungen verschieden sein, wenn ver- schiedene Faktoren in dieselben eintreten sollen. Wir betrachten hier indessen nur die Produkte mit Einer Lücke, deren Summe formell dadurch bestimmt ist, dass die multiplikative Beziehung be- stehen bleibt. Wir werden daher zwei Summen von offnen Pro- dukten, da sie nur durch ihre Multiplikation mit andern Grössen ihrem Begriffe nach bestimmt sind, dann und nur dann als gleich zu setzen haben, wenn sie mit jeder beliebigen, aber beide mit der- selben Grösse multiplicirt, gleiches Produkt liefern. *) Es kommt also darauf an, die konstanten Beziehungen zwischen den in jenem Summenausdrucke vorkommenden Grössen, die wir als veränderlich setzen können, auszumitteln, wenn eben der Summenwerth konstant bleiben soll. Je einfacher und anschaulicher diese konstanten Be- ziehungen aufgefasst sein werden, desto einfacher und anschau- licher wird der Begriff jener Summe sein, welcher eben als die Ge- *) Wenn auch nur mit jeder Grösse von gegebener Stufe, wobei dann jener
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§ 171 Begriff offner Produkte.
gen Faktoren schon zu einem Produkte zusammengefasst seien. In
der Aufhebung dieser Einseitigkeit nun liegt das Princip der Be-
handlung jener Produkte. Es sei A1 P . B1 + A2P . B2 eine solche
Summe zweier gemischten Produkte, in welchen P der gemein-
schaftliche Faktor ist, und die beiden letzten Faktoren nicht zu Ei-
nem Produkt vereinigt werden dürfen; so kann man statt dessen
auch nicht ∓ (A1 B1 + A2 B2) . P setzen; sondern wenn wir einen
solchen Ausdruck, wie es die Analogie der Multiplikation fordert,
einführen wollen, so müssen wir die Stelle des Produktes, in wel-
che P einrücken soll, bezeichnen. Es sei diese Stelle durch eine
leer gelassene Klammer bezeichnet, so dass
[FORMEL] und
[FORMEL] sei, und es werde ein solches Produkt mit leer gelassener Stelle
ein offnes genannt. Treten mehrere Faktoren hinzu, von denen
nur Einer in die Lücke eintreten soll, so kann dieser durch die-
selbe Klammer ausgezeichnet werden, durch welche die Lücke be-
zeichnet ist. Sind zwei oder mehr Lücken in dem Produkte, so
müssen die Klammerbezeichnungen verschieden sein, wenn ver-
schiedene Faktoren in dieselben eintreten sollen. Wir betrachten
hier indessen nur die Produkte mit Einer Lücke, deren Summe
formell dadurch bestimmt ist, dass die multiplikative Beziehung be-
stehen bleibt. Wir werden daher zwei Summen von offnen Pro-
dukten, da sie nur durch ihre Multiplikation mit andern Grössen
ihrem Begriffe nach bestimmt sind, dann und nur dann als gleich
zu setzen haben, wenn sie mit jeder beliebigen, aber beide mit der-
selben Grösse multiplicirt, gleiches Produkt liefern. *) Es kommt
also darauf an, die konstanten Beziehungen zwischen den in jenem
Summenausdrucke vorkommenden Grössen, die wir als veränderlich
setzen können, auszumitteln, wenn eben der Summenwerth konstant
bleiben soll. Je einfacher und anschaulicher diese konstanten Be-
ziehungen aufgefasst sein werden, desto einfacher und anschau-
licher wird der Begriff jener Summe sein, welcher eben als die Ge-
*) Wenn auch nur mit jeder Grösse von gegebener Stufe, wobei dann jener
Summenwerth zugleich von der Stufenzahl abhängig bleibt.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 267. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/303>, abgerufen am 19.05.2024. |
