Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Anm. über offne Produkte. § 171 sammtheit jener konstanten Beziehungen selbst aufgefasst werdenkann. Es lassen sich sehr leicht diese konstanten Beziehungen als Zahlenbeziehungen in Bezug auf irgend ein zu Grunde gelegtes Richtsystem darstellen. Nämlich man hat dann nur die sämmt- lichen Grössen in jenem Summenausdruck S, so wie auch die Grösse P, mit welcher multiplicirt werden soll, als Vielfachensummen der Richtmasse von gleicher Stufe darzustellen, dann das Produkt SP gleichfalls als Vielfachensumme von Richtmassen zu gestalten, so wird in diesem Produkte der Koefficient eines jeden Richtmasses (nach § 89) konstant sein, wie sich auch die Grössen in S ändern mögen, wenn eben jenes Produkt oder jene Vielfachensumme, auf welche dasselbe zurückgeführt ist, konstant bleiben soll. Ein jeder solcher Koefficient kann wiederum als Vielfachensumme von den Zeigern der Grösse P dargestellt werden; und da für jeden be- stimmten Werth dieser Zeiger jene Vielfachensumme konstant blei- ben soll, so muss auch in ihr der Koefficient eines jeden Zeigers von P konstant sein. Es ist nun sogleich einleuchtend, dass hier- durch die konstanten Beziehungen zwischen den Grössen in S voll- ständig dargestellt sind, indem aus ihnen die Beständigkeit des Summenausdruckes mit Nothwendigkeit hervorgeht. Wir erläutern dies an einem Beispiele. Es sei die Summe [Formel 1] zu behandeln, in welchen e, e1, e2 .... Strecken im Raume vor- stellen und wo bei der letzteren Bezeichnung das Summenzeichen sich auf die verschiedenen Anzeiger 1, 2 ... bezieht. Es ist klar, dass wenn die Strecken e nicht etwa Einer Ebene angehören, die Grösse P, welche mit jener Summe multiplicirt werden soll, von zweiter Stufe, d. h. ein Flächenraum sein muss, sobald die Pro- dukte der einzelnen Glieder summirbar bleiben sollen, ohne null zu werden. Es seien nun a, b, c die Richtmasse erster Stufe des zu Grunde gelegten Richtsystems, bc, ca, ab also die Richtmasse zweiter Stufe, und e = aa + bb + gc, [Formel 2] so hat man [Formel 3] Hier müssen die zu den Richtmassen a, b, c gehörigen Zeiger des ganzen Ausdrucks konstant sein; d. h. es müssen Anm. über offne Produkte. § 171 sammtheit jener konstanten Beziehungen selbst aufgefasst werdenkann. Es lassen sich sehr leicht diese konstanten Beziehungen als Zahlenbeziehungen in Bezug auf irgend ein zu Grunde gelegtes Richtsystem darstellen. Nämlich man hat dann nur die sämmt- lichen Grössen in jenem Summenausdruck S, so wie auch die Grösse P, mit welcher multiplicirt werden soll, als Vielfachensummen der Richtmasse von gleicher Stufe darzustellen, dann das Produkt SP gleichfalls als Vielfachensumme von Richtmassen zu gestalten, so wird in diesem Produkte der Koefficient eines jeden Richtmasses (nach § 89) konstant sein, wie sich auch die Grössen in S ändern mögen, wenn eben jenes Produkt oder jene Vielfachensumme, auf welche dasselbe zurückgeführt ist, konstant bleiben soll. Ein jeder solcher Koefficient kann wiederum als Vielfachensumme von den Zeigern der Grösse P dargestellt werden; und da für jeden be- stimmten Werth dieser Zeiger jene Vielfachensumme konstant blei- ben soll, so muss auch in ihr der Koefficient eines jeden Zeigers von P konstant sein. Es ist nun sogleich einleuchtend, dass hier- durch die konstanten Beziehungen zwischen den Grössen in S voll- ständig dargestellt sind, indem aus ihnen die Beständigkeit des Summenausdruckes mit Nothwendigkeit hervorgeht. Wir erläutern dies an einem Beispiele. Es sei die Summe [Formel 1] zu behandeln, in welchen e, e1, e2 .... Strecken im Raume vor- stellen und wo bei der letzteren Bezeichnung das Summenzeichen sich auf die verschiedenen Anzeiger 1, 2 ... bezieht. Es ist klar, dass wenn die Strecken e nicht etwa Einer Ebene angehören, die Grösse P, welche mit jener Summe multiplicirt werden soll, von zweiter Stufe, d. h. ein Flächenraum sein muss, sobald die Pro- dukte der einzelnen Glieder summirbar bleiben sollen, ohne null zu werden. Es seien nun a, b, c die Richtmasse erster Stufe des zu Grunde gelegten Richtsystems, bc, ca, ab also die Richtmasse zweiter Stufe, und e = αa + βb + γc, [Formel 2] so hat man [Formel 3] Hier müssen die zu den Richtmassen a, b, c gehörigen Zeiger des ganzen Ausdrucks konstant sein; d. h. es müssen <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0304" n="268"/><fw place="top" type="header">Anm. über offne Produkte. § 171</fw><lb/> sammtheit jener konstanten Beziehungen selbst aufgefasst werden<lb/> kann. Es lassen sich sehr leicht diese konstanten Beziehungen<lb/> als Zahlenbeziehungen in Bezug auf irgend ein zu Grunde gelegtes<lb/> Richtsystem darstellen. 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Anm. über offne Produkte. § 171
sammtheit jener konstanten Beziehungen selbst aufgefasst werden
kann. Es lassen sich sehr leicht diese konstanten Beziehungen
als Zahlenbeziehungen in Bezug auf irgend ein zu Grunde gelegtes
Richtsystem darstellen. Nämlich man hat dann nur die sämmt-
lichen Grössen in jenem Summenausdruck S, so wie auch die Grösse
P, mit welcher multiplicirt werden soll, als Vielfachensummen der
Richtmasse von gleicher Stufe darzustellen, dann das Produkt SP
gleichfalls als Vielfachensumme von Richtmassen zu gestalten, so
wird in diesem Produkte der Koefficient eines jeden Richtmasses
(nach § 89) konstant sein, wie sich auch die Grössen in S ändern
mögen, wenn eben jenes Produkt oder jene Vielfachensumme, auf
welche dasselbe zurückgeführt ist, konstant bleiben soll. Ein jeder
solcher Koefficient kann wiederum als Vielfachensumme von den
Zeigern der Grösse P dargestellt werden; und da für jeden be-
stimmten Werth dieser Zeiger jene Vielfachensumme konstant blei-
ben soll, so muss auch in ihr der Koefficient eines jeden Zeigers
von P konstant sein. Es ist nun sogleich einleuchtend, dass hier-
durch die konstanten Beziehungen zwischen den Grössen in S voll-
ständig dargestellt sind, indem aus ihnen die Beständigkeit des
Summenausdruckes mit Nothwendigkeit hervorgeht. Wir erläutern
dies an einem Beispiele. Es sei die Summe
[FORMEL] zu behandeln, in welchen e, e1, e2 .... Strecken im Raume vor-
stellen und wo bei der letzteren Bezeichnung das Summenzeichen
sich auf die verschiedenen Anzeiger 1, 2 ... bezieht. Es ist klar,
dass wenn die Strecken e nicht etwa Einer Ebene angehören, die
Grösse P, welche mit jener Summe multiplicirt werden soll, von
zweiter Stufe, d. h. ein Flächenraum sein muss, sobald die Pro-
dukte der einzelnen Glieder summirbar bleiben sollen, ohne null
zu werden. Es seien nun a, b, c die Richtmasse erster Stufe des
zu Grunde gelegten Richtsystems, bc, ca, ab also die Richtmasse
zweiter Stufe, und e = αa + βb + γc,
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[FORMEL] Hier müssen die zu den Richtmassen a, b, c gehörigen Zeiger des
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 268. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/304>, abgerufen am 21.11.2024. |
