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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 171 Konstante Beziehungen offner Produkte.
[Formel 1] konstant sein für jeden Werth von x, y, z, wobei
[Formel 2] ist. Daraus ergeben sich folgende 6 konstante Grössen:
[Formel 3] Bezeichnen wir diese 6 Gsössen beziehlich mit
[Formel 4] so ist
[Formel 5]

Es hat demnach jene Summe S dann und nur dann einen kon-
stanten Werth, wenn in Bezug auf irgend ein festes Richtsystem
diese 6 Zahlengrössen konstant sind. So haben wir nun zwar die
konstanten Beziehungen, welche zwischen den in jener Summe
vorkommenden Grössen herrschen müssen, wenn die Summe kon-
stant bleiben soll, bestimmt; allein der einfache Begriff jener Summe
ist dadurch noch nicht gefunden, weil in diese Bestimmungen ein
ganz fremdartiges, mit dem Begriffe jener Summe in keinerlei Be-
ziehung stehendes Element, nämlich das zu Grunde gelegte Richt-
system eingeführt ist. Es dienen daher jene 6 Grössen nur zur
Uebertragung auf gegebene Richtsysteme, während der einfache Be-
griff der Summe noch zu realisiren ist. Wir können, um uns der
Lösung dieser Aufgabe zu nähern, zuerst versuchen, jene Summe
auf eine möglichst geringe Anzahl von Gliedern zurückzuführen.
Da jede Strecke 3 Zeiger darbietet, so scheint für den ersten An-
blick jene Summe auf zwei Glieder reducirbar, in sofern zur Be-
stimmung der 6 Zeiger jener Strecken 6 Gleichungen erscheinen;
allein es erhellt leicht, dass, wenn nicht etwa sämmtliche Grössen
in S derselben Ebene angehören, jene 6 Zeiger nicht so gewählt
werden können, dass diesen 6 Gleichungen genügt wird. Denn da
das Richtsystem willkührlich ist, so kann es auch so genommen
werden, dass jene zwei Strecken mit zweien der Richtmasse etwa
mit a und b zusammenfallen; dann ist klar, wie
[Formel 6]

§ 171 Konstante Beziehungen offner Produkte.
[Formel 1] konstant sein für jeden Werth von x, y, z, wobei
[Formel 2] ist. Daraus ergeben sich folgende 6 konstante Grössen:
[Formel 3] Bezeichnen wir diese 6 Gsössen beziehlich mit
[Formel 4] so ist
[Formel 5]

Es hat demnach jene Summe S dann und nur dann einen kon-
stanten Werth, wenn in Bezug auf irgend ein festes Richtsystem
diese 6 Zahlengrössen konstant sind. So haben wir nun zwar die
konstanten Beziehungen, welche zwischen den in jener Summe
vorkommenden Grössen herrschen müssen, wenn die Summe kon-
stant bleiben soll, bestimmt; allein der einfache Begriff jener Summe
ist dadurch noch nicht gefunden, weil in diese Bestimmungen ein
ganz fremdartiges, mit dem Begriffe jener Summe in keinerlei Be-
ziehung stehendes Element, nämlich das zu Grunde gelegte Richt-
system eingeführt ist. Es dienen daher jene 6 Grössen nur zur
Uebertragung auf gegebene Richtsysteme, während der einfache Be-
griff der Summe noch zu realisiren ist. Wir können, um uns der
Lösung dieser Aufgabe zu nähern, zuerst versuchen, jene Summe
auf eine möglichst geringe Anzahl von Gliedern zurückzuführen.
Da jede Strecke 3 Zeiger darbietet, so scheint für den ersten An-
blick jene Summe auf zwei Glieder reducirbar, in sofern zur Be-
stimmung der 6 Zeiger jener Strecken 6 Gleichungen erscheinen;
allein es erhellt leicht, dass, wenn nicht etwa sämmtliche Grössen
in S derselben Ebene angehören, jene 6 Zeiger nicht so gewählt
werden können, dass diesen 6 Gleichungen genügt wird. Denn da
das Richtsystem willkührlich ist, so kann es auch so genommen
werden, dass jene zwei Strecken mit zweien der Richtmasse etwa
mit a und b zusammenfallen; dann ist klar, wie
[Formel 6] 

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[269/0305] § 171 Konstante Beziehungen offner Produkte. [FORMEL] konstant sein für jeden Werth von x, y, z, wobei [FORMEL] ist. Daraus ergeben sich folgende 6 konstante Grössen: [FORMEL] Bezeichnen wir diese 6 Gsössen beziehlich mit [FORMEL] so ist [FORMEL] Es hat demnach jene Summe S dann und nur dann einen kon- stanten Werth, wenn in Bezug auf irgend ein festes Richtsystem diese 6 Zahlengrössen konstant sind. So haben wir nun zwar die konstanten Beziehungen, welche zwischen den in jener Summe vorkommenden Grössen herrschen müssen, wenn die Summe kon- stant bleiben soll, bestimmt; allein der einfache Begriff jener Summe ist dadurch noch nicht gefunden, weil in diese Bestimmungen ein ganz fremdartiges, mit dem Begriffe jener Summe in keinerlei Be- ziehung stehendes Element, nämlich das zu Grunde gelegte Richt- system eingeführt ist. Es dienen daher jene 6 Grössen nur zur Uebertragung auf gegebene Richtsysteme, während der einfache Be- griff der Summe noch zu realisiren ist. Wir können, um uns der Lösung dieser Aufgabe zu nähern, zuerst versuchen, jene Summe auf eine möglichst geringe Anzahl von Gliedern zurückzuführen. Da jede Strecke 3 Zeiger darbietet, so scheint für den ersten An- blick jene Summe auf zwei Glieder reducirbar, in sofern zur Be- stimmung der 6 Zeiger jener Strecken 6 Gleichungen erscheinen; allein es erhellt leicht, dass, wenn nicht etwa sämmtliche Grössen in S derselben Ebene angehören, jene 6 Zeiger nicht so gewählt werden können, dass diesen 6 Gleichungen genügt wird. Denn da das Richtsystem willkührlich ist, so kann es auch so genommen werden, dass jene zwei Strecken mit zweien der Richtmasse etwa mit a und b zusammenfallen; dann ist klar, wie [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 269. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/305>, abgerufen am 21.11.2024.