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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Einleitung.
abstrakte Idee des Gesetzmässigen ist der Begriff der Ausdehnung
und durch die desselben Gesetzes für alle Momente der Aenderung
der Begriff der einfachen Ausdehnung bestimmt. Hiernach hat
nun die einfache Ausdehnung die Beschaffenheit, dass, wenn aus
einem Elemente derselben a durch einen Akt der Aenderung ein
anderes Element b derselben Ausdehnung hervorgeht, dann aus b
durch denselben Akt der Aenderung ein drittes Element derselben
c hervorgeht.

In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung das die ein-
zelnen Aenderungen umfassende Gesetz, die Strecke in der Raum-
lehre entspricht also der einfachen Ausdehnung, die unendliche
gerade Linie dem ganzen System.

11. Wendet man zwei verschiedene Gesetze der Aenderung
an, so bildet die Gesammtheit der vermöge beider Gesetze erzeug-
baren Elemente ein System zweiter Stufe. Die Gesetze der Aen-
derung, durch welche die Elemente dieses Systems aus einander
hervorgehen können, sind von jenen beiden ersten abhängig; nimmt
man noch ein drittes unabhängiges Gesetz hinzu, so gelangt man zu
jenem Systeme dritter Stufe und so fort.

Als Beispiel möge hier wieder die Raumlehre dienen. In der-
selben werden bei zwei verschiedenen Richtungen aus einem Ele-
mente die sämmtlichen Elemente einer Ebene erzeugt, indem
nämlich das erzeugende Element beliebig viel nach beiden Rich-
tungen nach einander fortschreitet, und die Gesammtheit der so
erzeugbaren Punkte (Elemente) in eins zusammengefasst wird.
Die Ebene ist also das System zweiter Stufe; in ihr ist eine un-
endliche Menge von Richtungen enthalten, welche von jenen beiden
ersten abhängen. Nimmt man eine dritte unabhängige Richtung
hinzu, so wird vermittelst ihrer der ganze unendliche Raum (als
System dritter Stufe) erzeugt; und weiter als bis zu den unabhän-
gigen Richtungen (Aenderungsgesetzen) kann man hier nicht kom-
men, während sich in der reinen Ausdehnungslehre die Anzahl
derselben bis ins Unendliche steigern kann.

12. Die Verschiedenheit der Gesetze erfordert wieder zu ihrer
genaueren Bestimmung eine Erzeugungsweise, vermöge deren das eine

Einleitung.
abstrakte Idee des Gesetzmässigen ist der Begriff der Ausdehnung
und durch die desselben Gesetzes für alle Momente der Aenderung
der Begriff der einfachen Ausdehnung bestimmt. Hiernach hat
nun die einfache Ausdehnung die Beschaffenheit, dass, wenn aus
einem Elemente derselben a durch einen Akt der Aenderung ein
anderes Element b derselben Ausdehnung hervorgeht, dann aus b
durch denselben Akt der Aenderung ein drittes Element derselben
c hervorgeht.

In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung das die ein-
zelnen Aenderungen umfassende Gesetz, die Strecke in der Raum-
lehre entspricht also der einfachen Ausdehnung, die unendliche
gerade Linie dem ganzen System.

11. Wendet man zwei verschiedene Gesetze der Aenderung
an, so bildet die Gesammtheit der vermöge beider Gesetze erzeug-
baren Elemente ein System zweiter Stufe. Die Gesetze der Aen-
derung, durch welche die Elemente dieses Systems aus einander
hervorgehen können, sind von jenen beiden ersten abhängig; nimmt
man noch ein drittes unabhängiges Gesetz hinzu, so gelangt man zu
jenem Systeme dritter Stufe und so fort.

Als Beispiel möge hier wieder die Raumlehre dienen. In der-
selben werden bei zwei verschiedenen Richtungen aus einem Ele-
mente die sämmtlichen Elemente einer Ebene erzeugt, indem
nämlich das erzeugende Element beliebig viel nach beiden Rich-
tungen nach einander fortschreitet, und die Gesammtheit der so
erzeugbaren Punkte (Elemente) in eins zusammengefasst wird.
Die Ebene ist also das System zweiter Stufe; in ihr ist eine un-
endliche Menge von Richtungen enthalten, welche von jenen beiden
ersten abhängen. Nimmt man eine dritte unabhängige Richtung
hinzu, so wird vermittelst ihrer der ganze unendliche Raum (als
System dritter Stufe) erzeugt; und weiter als bis zu den unabhän-
gigen Richtungen (Aenderungsgesetzen) kann man hier nicht kom-
men, während sich in der reinen Ausdehnungslehre die Anzahl
derselben bis ins Unendliche steigern kann.

12. Die Verschiedenheit der Gesetze erfordert wieder zu ihrer
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[XXVIII/0032] Einleitung. abstrakte Idee des Gesetzmässigen ist der Begriff der Ausdehnung und durch die desselben Gesetzes für alle Momente der Aenderung der Begriff der einfachen Ausdehnung bestimmt. Hiernach hat nun die einfache Ausdehnung die Beschaffenheit, dass, wenn aus einem Elemente derselben a durch einen Akt der Aenderung ein anderes Element b derselben Ausdehnung hervorgeht, dann aus b durch denselben Akt der Aenderung ein drittes Element derselben c hervorgeht. In der Raumlehre ist die Gleichheit der Richtung das die ein- zelnen Aenderungen umfassende Gesetz, die Strecke in der Raum- lehre entspricht also der einfachen Ausdehnung, die unendliche gerade Linie dem ganzen System. 11. Wendet man zwei verschiedene Gesetze der Aenderung an, so bildet die Gesammtheit der vermöge beider Gesetze erzeug- baren Elemente ein System zweiter Stufe. Die Gesetze der Aen- derung, durch welche die Elemente dieses Systems aus einander hervorgehen können, sind von jenen beiden ersten abhängig; nimmt man noch ein drittes unabhängiges Gesetz hinzu, so gelangt man zu jenem Systeme dritter Stufe und so fort. Als Beispiel möge hier wieder die Raumlehre dienen. In der- selben werden bei zwei verschiedenen Richtungen aus einem Ele- mente die sämmtlichen Elemente einer Ebene erzeugt, indem nämlich das erzeugende Element beliebig viel nach beiden Rich- tungen nach einander fortschreitet, und die Gesammtheit der so erzeugbaren Punkte (Elemente) in eins zusammengefasst wird. Die Ebene ist also das System zweiter Stufe; in ihr ist eine un- endliche Menge von Richtungen enthalten, welche von jenen beiden ersten abhängen. Nimmt man eine dritte unabhängige Richtung hinzu, so wird vermittelst ihrer der ganze unendliche Raum (als System dritter Stufe) erzeugt; und weiter als bis zu den unabhän- gigen Richtungen (Aenderungsgesetzen) kann man hier nicht kom- men, während sich in der reinen Ausdehnungslehre die Anzahl derselben bis ins Unendliche steigern kann. 12. Die Verschiedenheit der Gesetze erfordert wieder zu ihrer genaueren Bestimmung eine Erzeugungsweise, vermöge deren das eine

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. XXVIII. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/32>, abgerufen am 23.11.2024.