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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Allgemeine Formenlehre. § 6
sei. In der That hat man aus der Definition der analytischen Ver-
knüpfung
[Formel 1] dieser Ausdruck ist wieder vermöge des so eben erwiesenen Ge-
setzes
[Formel 2] und dies letztere ist endlich vermöge der Definition der analytischen
Verknüpfung
[Formel 3] also auch der erste Ausdruck dem letzten gleich. Drücken wir
dies Resultat in Worten aus, und fassen es mit dem vorher gewon-
nenen Resultate zusammen, so erhalten wir den Satz:
"Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache ist, so ist
es für das Ergebniss gleichgültig, in welcher Ordnung man
synthetisch oder analytisch verknüpft; auch darf man nach
einem synthetischen Zeichen eine Klammer setzen oder weg-
lassen, wenn dieselbe nur synthetische Glieder enthält, nach
einem analytischen aber unter allen Umständen die Klammer
setzen oder weglassen, sobald man nur in diesem Falle die
Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt, d. h. das analy-
tische Zeichen in ein synthetisches verwandelt und umgekehrt."
Dies ist das allgemeinste Resultat, zu dem wir bei den angenom-
menen Voraussetzungen gelangen können. Hingegen geht aus den-
selben nicht hervor, dass man eine Klammer, welche ein analy-
tisches Zeichen einschliesst, und ein synthetisches vor sich hat,
weglassen könne. Vielmehr muss dazu erst eine neue Voraus-
setzung gemacht werden.

§ 6. Die neue Voraussetzung, die wir hinzufügen, ist die,
dass das Ergebniss der analytischen Verknüpfung eindeutig sei,
oder mit andern Worten, dass, wenn das eine Glied der syntheti-
schen Verknüpfung unverändert bleibt, das andere aber sich än-
dert, dann auch jedesmal das Ergebniss sich ändere. Hieraus er-
giebt sich zunächst, dass
[Formel 4] ist; denn a * b * b bedeutet die Form, die mit b synthetisch ver-
knüpft a * b giebt. Nun ist a eine solche Form und vermöge der
Eindeutigkeit des Resultates die einzige, also die Geltung der

Allgemeine Formenlehre. § 6
sei. In der That hat man aus der Definition der analytischen Ver-
knüpfung
[Formel 1] dieser Ausdruck ist wieder vermöge des so eben erwiesenen Ge-
setzes
[Formel 2] und dies letztere ist endlich vermöge der Definition der analytischen
Verknüpfung
[Formel 3] also auch der erste Ausdruck dem letzten gleich. Drücken wir
dies Resultat in Worten aus, und fassen es mit dem vorher gewon-
nenen Resultate zusammen, so erhalten wir den Satz:
„Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache ist, so ist
es für das Ergebniss gleichgültig, in welcher Ordnung man
synthetisch oder analytisch verknüpft; auch darf man nach
einem synthetischen Zeichen eine Klammer setzen oder weg-
lassen, wenn dieselbe nur synthetische Glieder enthält, nach
einem analytischen aber unter allen Umständen die Klammer
setzen oder weglassen, sobald man nur in diesem Falle die
Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt, d. h. das analy-
tische Zeichen in ein synthetisches verwandelt und umgekehrt.“
Dies ist das allgemeinste Resultat, zu dem wir bei den angenom-
menen Voraussetzungen gelangen können. Hingegen geht aus den-
selben nicht hervor, dass man eine Klammer, welche ein analy-
tisches Zeichen einschliesst, und ein synthetisches vor sich hat,
weglassen könne. Vielmehr muss dazu erst eine neue Voraus-
setzung gemacht werden.

§ 6. Die neue Voraussetzung, die wir hinzufügen, ist die,
dass das Ergebniss der analytischen Verknüpfung eindeutig sei,
oder mit andern Worten, dass, wenn das eine Glied der syntheti-
schen Verknüpfung unverändert bleibt, das andere aber sich än-
dert, dann auch jedesmal das Ergebniss sich ändere. Hieraus er-
giebt sich zunächst, dass
[Formel 4] ist; denn a ◠ b ◡ b bedeutet die Form, die mit b synthetisch ver-
knüpft a ◠ b giebt. Nun ist a eine solche Form und vermöge der
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[6/0042] Allgemeine Formenlehre. § 6 sei. In der That hat man aus der Definition der analytischen Ver- knüpfung [FORMEL] dieser Ausdruck ist wieder vermöge des so eben erwiesenen Ge- setzes [FORMEL] und dies letztere ist endlich vermöge der Definition der analytischen Verknüpfung [FORMEL] also auch der erste Ausdruck dem letzten gleich. Drücken wir dies Resultat in Worten aus, und fassen es mit dem vorher gewon- nenen Resultate zusammen, so erhalten wir den Satz: „Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache ist, so ist es für das Ergebniss gleichgültig, in welcher Ordnung man synthetisch oder analytisch verknüpft; auch darf man nach einem synthetischen Zeichen eine Klammer setzen oder weg- lassen, wenn dieselbe nur synthetische Glieder enthält, nach einem analytischen aber unter allen Umständen die Klammer setzen oder weglassen, sobald man nur in diesem Falle die Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt, d. h. das analy- tische Zeichen in ein synthetisches verwandelt und umgekehrt.“ Dies ist das allgemeinste Resultat, zu dem wir bei den angenom- menen Voraussetzungen gelangen können. Hingegen geht aus den- selben nicht hervor, dass man eine Klammer, welche ein analy- tisches Zeichen einschliesst, und ein synthetisches vor sich hat, weglassen könne. Vielmehr muss dazu erst eine neue Voraus- setzung gemacht werden. § 6. Die neue Voraussetzung, die wir hinzufügen, ist die, dass das Ergebniss der analytischen Verknüpfung eindeutig sei, oder mit andern Worten, dass, wenn das eine Glied der syntheti- schen Verknüpfung unverändert bleibt, das andere aber sich än- dert, dann auch jedesmal das Ergebniss sich ändere. Hieraus er- giebt sich zunächst, dass [FORMEL] ist; denn a ◠ b ◡ b bedeutet die Form, die mit b synthetisch ver- knüpft a ◠ b giebt. Nun ist a eine solche Form und vermöge der Eindeutigkeit des Resultates die einzige, also die Geltung der

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 6. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/42>, abgerufen am 03.12.2024.