Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 6 Eindeutigkeit der Analyse -- Gesetze. obigen Gleichung erwiesen. Hieraus wiederum geht hervor, dass[Formel 1] ist. Um nämlich den zweiten Ausdruck auf den ersten zu brin- gen, kann man in ihm statt b setzen ((b * c) * c und erhält [Formel 2] ; dies ist nach § 4 [Formel 3] , und dies wieder nach dem so eben erwiesenen Satze [Formel 4] , also ist auch der erste Ausdruck dem letzten gleich; da man nun diese Schlüsse wiederholen kann, wenn mehrere Glieder in der Klammer vorkommen, so hat man den Satz: "Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache, und die Was die Ordnung der Glieder betrifft, so folgt, dass a * b * c = a * c * b ist; denn a * b * c = b * a * c = b * (a * c) = a * c * b; so dass wir also auch die Vertauschbarkeit zweier Glieder, deren eins ein synthetisches, das andere ein analytisches Vorzeichen hat, nach- gewiesen haben, sobald die Eindeutigkeit des analytischen Ergeb- nisses voraus gesetzt ist. Und nur unter dieser Voraussetzung gelten die Sätze dieses Paragraphen, während die des vorigen auch dann noch gelten, wenn das Ergebniss der analytischen Verknüpfung vieldeutig ist *). *) Beispiele einer solchen Vieldeutigkeit liefert nicht bloss, wie sich später
zeigen wird, die Ausdehnungslehre in reichlicher Menge, sondern auch die Arithmetik bietet sie dar, und es ist daher die festgesetzte Unterscheidung auch für sie wichtig. Nämlich als einfache Verknüpfungen zeigen sich Addition und Multiplikation; und während die Subtraktion immer eindeutig ist, so ist es die Division nur, so lange die Null nicht als Divisor erscheint; deshalb gelten für die Division nur die Sätze des vorigen § allgemein, während die Sätze dieses § nur mit der Beschränkung gelten, dass die Null nicht als Divisor erscheint. Aus der Nichtbeachtung dieses Umstandes müssen die ärgsten Widersprüche und Ver- wirrungen hervorgehen, wie es auch zum Theil geschehen ist. § 6 Eindeutigkeit der Analyse — Gesetze. obigen Gleichung erwiesen. Hieraus wiederum geht hervor, dass[Formel 1] ist. Um nämlich den zweiten Ausdruck auf den ersten zu brin- gen, kann man in ihm statt b setzen ((b ◡ c) ◠ c und erhält [Formel 2] ; dies ist nach § 4 [Formel 3] , und dies wieder nach dem so eben erwiesenen Satze [Formel 4] , also ist auch der erste Ausdruck dem letzten gleich; da man nun diese Schlüsse wiederholen kann, wenn mehrere Glieder in der Klammer vorkommen, so hat man den Satz: „Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache, und die Was die Ordnung der Glieder betrifft, so folgt, dass a ◠ b ◡ c = a ◡ c ◠ b ist; denn a ◠ b ◡ c = b ◠ a ◡ c = b ◠ (a ◡ c) = a ◡ c ◠ b; so dass wir also auch die Vertauschbarkeit zweier Glieder, deren eins ein synthetisches, das andere ein analytisches Vorzeichen hat, nach- gewiesen haben, sobald die Eindeutigkeit des analytischen Ergeb- nisses voraus gesetzt ist. Und nur unter dieser Voraussetzung gelten die Sätze dieses Paragraphen, während die des vorigen auch dann noch gelten, wenn das Ergebniss der analytischen Verknüpfung vieldeutig ist *). *) Beispiele einer solchen Vieldeutigkeit liefert nicht bloss, wie sich später
zeigen wird, die Ausdehnungslehre in reichlicher Menge, sondern auch die Arithmetik bietet sie dar, und es ist daher die festgesetzte Unterscheidung auch für sie wichtig. Nämlich als einfache Verknüpfungen zeigen sich Addition und Multiplikation; und während die Subtraktion immer eindeutig ist, so ist es die Division nur, so lange die Null nicht als Divisor erscheint; deshalb gelten für die Division nur die Sätze des vorigen § allgemein, während die Sätze dieses § nur mit der Beschränkung gelten, dass die Null nicht als Divisor erscheint. Aus der Nichtbeachtung dieses Umstandes müssen die ärgsten Widersprüche und Ver- wirrungen hervorgehen, wie es auch zum Theil geschehen ist. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0043" n="7"/><fw place="top" type="header">§ 6 Eindeutigkeit der Analyse — Gesetze.</fw><lb/> obigen Gleichung erwiesen. Hieraus wiederum geht hervor, dass<lb/><formula/> ist. Um nämlich den zweiten Ausdruck auf den ersten zu brin-<lb/> gen, kann man in ihm statt b setzen ((b ◡ c) ◠ c und erhält<lb/><formula/>;<lb/> dies ist nach § 4<lb/><formula/>,<lb/> und dies wieder nach dem so eben erwiesenen Satze<lb/><formula/>,<lb/> also ist auch der erste Ausdruck dem letzten gleich; da man nun<lb/> diese Schlüsse wiederholen kann, wenn mehrere Glieder in der<lb/> Klammer vorkommen, so hat man den Satz:<lb/><cit><quote>„Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache, und die<lb/> entsprechende analytische eine eindeutige ist, so kann man<lb/> nach einem synthetischen Zeichen die Klammer beliebig setzen<lb/> oder weglassen. Wir nennen dann (wenn jene Eindeutigkeit<lb/> auf allgemeine Weise statt findet) die synthetische Verknüpfung<lb/> Addition, und die entsprechende analytische Subtraktion.</quote></cit><lb/> Was die Ordnung der Glieder betrifft, so folgt, dass a ◠ b ◡ c =<lb/> a ◡ c ◠ b ist; denn a ◠ b ◡ c = b ◠ a ◡ c = b ◠ (a ◡ c) = a ◡ c ◠ b; so<lb/> dass wir also auch die Vertauschbarkeit zweier Glieder, deren eins<lb/> ein synthetisches, das andere ein analytisches Vorzeichen hat, nach-<lb/> gewiesen haben, sobald die Eindeutigkeit des analytischen Ergeb-<lb/> nisses voraus gesetzt ist. Und nur unter dieser Voraussetzung<lb/> gelten die Sätze dieses Paragraphen, während die des vorigen auch<lb/> dann noch gelten, wenn das Ergebniss der analytischen Verknüpfung<lb/> vieldeutig ist <note place="foot" n="*)">Beispiele einer solchen Vieldeutigkeit liefert nicht bloss, wie sich später<lb/> zeigen wird, die Ausdehnungslehre in reichlicher Menge, sondern auch die<lb/> Arithmetik bietet sie dar, und es ist daher die festgesetzte Unterscheidung auch<lb/> für sie wichtig. Nämlich als einfache Verknüpfungen zeigen sich Addition und<lb/> Multiplikation; und während die Subtraktion immer eindeutig ist, so ist es die<lb/> Division nur, so lange die Null nicht als Divisor erscheint; deshalb gelten für die<lb/> Division nur die Sätze des vorigen § allgemein, während die Sätze dieses § nur<lb/> mit der Beschränkung gelten, dass die Null nicht als Divisor erscheint. Aus der<lb/> Nichtbeachtung dieses Umstandes müssen die ärgsten Widersprüche und Ver-<lb/> wirrungen hervorgehen, wie es auch zum Theil geschehen ist.</note>.</p><lb/> </div> </body> </text> </TEI> [7/0043]
§ 6 Eindeutigkeit der Analyse — Gesetze.
obigen Gleichung erwiesen. Hieraus wiederum geht hervor, dass
[FORMEL] ist. Um nämlich den zweiten Ausdruck auf den ersten zu brin-
gen, kann man in ihm statt b setzen ((b ◡ c) ◠ c und erhält
[FORMEL];
dies ist nach § 4
[FORMEL],
und dies wieder nach dem so eben erwiesenen Satze
[FORMEL],
also ist auch der erste Ausdruck dem letzten gleich; da man nun
diese Schlüsse wiederholen kann, wenn mehrere Glieder in der
Klammer vorkommen, so hat man den Satz:
„Wenn die synthetische Verknüpfung eine einfache, und die
entsprechende analytische eine eindeutige ist, so kann man
nach einem synthetischen Zeichen die Klammer beliebig setzen
oder weglassen. Wir nennen dann (wenn jene Eindeutigkeit
auf allgemeine Weise statt findet) die synthetische Verknüpfung
Addition, und die entsprechende analytische Subtraktion.
Was die Ordnung der Glieder betrifft, so folgt, dass a ◠ b ◡ c =
a ◡ c ◠ b ist; denn a ◠ b ◡ c = b ◠ a ◡ c = b ◠ (a ◡ c) = a ◡ c ◠ b; so
dass wir also auch die Vertauschbarkeit zweier Glieder, deren eins
ein synthetisches, das andere ein analytisches Vorzeichen hat, nach-
gewiesen haben, sobald die Eindeutigkeit des analytischen Ergeb-
nisses voraus gesetzt ist. Und nur unter dieser Voraussetzung
gelten die Sätze dieses Paragraphen, während die des vorigen auch
dann noch gelten, wenn das Ergebniss der analytischen Verknüpfung
vieldeutig ist *).
*) Beispiele einer solchen Vieldeutigkeit liefert nicht bloss, wie sich später
zeigen wird, die Ausdehnungslehre in reichlicher Menge, sondern auch die
Arithmetik bietet sie dar, und es ist daher die festgesetzte Unterscheidung auch
für sie wichtig. Nämlich als einfache Verknüpfungen zeigen sich Addition und
Multiplikation; und während die Subtraktion immer eindeutig ist, so ist es die
Division nur, so lange die Null nicht als Divisor erscheint; deshalb gelten für die
Division nur die Sätze des vorigen § allgemein, während die Sätze dieses § nur
mit der Beschränkung gelten, dass die Null nicht als Divisor erscheint. Aus der
Nichtbeachtung dieses Umstandes müssen die ärgsten Widersprüche und Ver-
wirrungen hervorgehen, wie es auch zum Theil geschehen ist.
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