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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Allgemeine Formenlehre. § 9
Sinne erzeugten Grössen können wir unter dem Namen gleich-
artiger Grössen zusammenfassen, und also ist auf diese Weise
der reale Begriff der Addition und Subtraktion für gleichartige
Grössen überhaupt bestimmt.

§. 9. Wir haben bisher nur Eine synthetische Verknüpfungs-
art für sich und in ihrem Verhältnisse zur entsprechenden analyti-
schen betrachtet. Es kommt jetzt darauf an, die Beziehung zweier
verschiedener synthetischer Verknüpfungsarten darzulegen. Zu dem
Ende muss die eine durch die andere ihrem Begriffe nach bestimmt
sein. Diese Begriffsbestimmung hängt von der Art ab, wie ein
Ausdruck, welcher beide Verknüpfungsweisen enthält, ohne Aende-
rung des Gesammtergebnisses umgestaltet werden kann. Die ein-
fachste Art, wie in einem Ausdrucke beide Verknüpfungen vorkom-
men können, ist die, dass das Ergebniss der einen Verknüpfung
der zweiten unterworfen wird, also wenn [] und [] die Zeichen der
beiden Verknüpfungen sind, so hängt das Verhältniss beider von
den Umgestaltungen ab, welche mit dem Ausdruck (a * b) [] c vor-
genommen werden dürfen. Wenn sich die zweite Verknüpfung auf
beide Glieder der ersten gleichmässig beziehen soll, so bietet sich
als die einfachste Umgestaltung die dar, dass man jedes Glied der
ersten Verknüpfung der zweiten unterwerfen, und dann diese ein-
zelnen Ergebnisse als Glieder der ersten Verknüpfungsweise setzen
könne. Wenn diese Umgestaltung ohne Aenderung des Gesammt-
ergebnisses vorgenommen werden kann, d. h. also (a * b) [] c =
(a [] c) * (b [] c) ist, so nennen wir die zweite Verknüpfung die jener
ersten entsprechende Verknüpfung nächst höherer Stufe. Sind
ins besondere bei dieser zweiten Verknüpfung beide Glieder auf
gleiche Weise abhängig von der ersten, so dass also jene Bestim-
mung sowohl für das Hinterglied der neuen Verbindung gilt, wie
für deren Vorderglied, und ist ferner die erstere Verknüpfung eine
einfache, und ihre entsprechende analytische eine eindeutige, so
nennen wir die letztere Multiplikation, während wir für die erstere
schon oben den Namen der Addition festgesetzt hatten. Es ist
dies überhaupt die Art, wie von vorne herein, d. h. wenn noch
keine Verknüpfungsart gegeben ist, eine solche nebst der sich dar-
an anschliessenden höheren bestimmt werden kann. Daher be-
trachten wir auch die Addition als die Verknüpfung erster Stufe,

Allgemeine Formenlehre. § 9
Sinne erzeugten Grössen können wir unter dem Namen gleich-
artiger Grössen zusammenfassen, und also ist auf diese Weise
der reale Begriff der Addition und Subtraktion für gleichartige
Grössen überhaupt bestimmt.

§. 9. Wir haben bisher nur Eine synthetische Verknüpfungs-
art für sich und in ihrem Verhältnisse zur entsprechenden analyti-
schen betrachtet. Es kommt jetzt darauf an, die Beziehung zweier
verschiedener synthetischer Verknüpfungsarten darzulegen. Zu dem
Ende muss die eine durch die andere ihrem Begriffe nach bestimmt
sein. Diese Begriffsbestimmung hängt von der Art ab, wie ein
Ausdruck, welcher beide Verknüpfungsweisen enthält, ohne Aende-
rung des Gesammtergebnisses umgestaltet werden kann. Die ein-
fachste Art, wie in einem Ausdrucke beide Verknüpfungen vorkom-
men können, ist die, dass das Ergebniss der einen Verknüpfung
der zweiten unterworfen wird, also wenn [⌢] und [⏒] die Zeichen der
beiden Verknüpfungen sind, so hängt das Verhältniss beider von
den Umgestaltungen ab, welche mit dem Ausdruck (a ◠ b) [⏒] c vor-
genommen werden dürfen. Wenn sich die zweite Verknüpfung auf
beide Glieder der ersten gleichmässig beziehen soll, so bietet sich
als die einfachste Umgestaltung die dar, dass man jedes Glied der
ersten Verknüpfung der zweiten unterwerfen, und dann diese ein-
zelnen Ergebnisse als Glieder der ersten Verknüpfungsweise setzen
könne. Wenn diese Umgestaltung ohne Aenderung des Gesammt-
ergebnisses vorgenommen werden kann, d. h. also (a ◠ b) [⏒] c =
(a [⏒] c) ◠ (b [⏒] c) ist, so nennen wir die zweite Verknüpfung die jener
ersten entsprechende Verknüpfung nächst höherer Stufe. Sind
ins besondere bei dieser zweiten Verknüpfung beide Glieder auf
gleiche Weise abhängig von der ersten, so dass also jene Bestim-
mung sowohl für das Hinterglied der neuen Verbindung gilt, wie
für deren Vorderglied, und ist ferner die erstere Verknüpfung eine
einfache, und ihre entsprechende analytische eine eindeutige, so
nennen wir die letztere Multiplikation, während wir für die erstere
schon oben den Namen der Addition festgesetzt hatten. Es ist
dies überhaupt die Art, wie von vorne herein, d. h. wenn noch
keine Verknüpfungsart gegeben ist, eine solche nebst der sich dar-
an anschliessenden höheren bestimmt werden kann. Daher be-
trachten wir auch die Addition als die Verknüpfung erster Stufe,

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[10/0046] Allgemeine Formenlehre. § 9 Sinne erzeugten Grössen können wir unter dem Namen gleich- artiger Grössen zusammenfassen, und also ist auf diese Weise der reale Begriff der Addition und Subtraktion für gleichartige Grössen überhaupt bestimmt. §. 9. Wir haben bisher nur Eine synthetische Verknüpfungs- art für sich und in ihrem Verhältnisse zur entsprechenden analyti- schen betrachtet. Es kommt jetzt darauf an, die Beziehung zweier verschiedener synthetischer Verknüpfungsarten darzulegen. Zu dem Ende muss die eine durch die andere ihrem Begriffe nach bestimmt sein. Diese Begriffsbestimmung hängt von der Art ab, wie ein Ausdruck, welcher beide Verknüpfungsweisen enthält, ohne Aende- rung des Gesammtergebnisses umgestaltet werden kann. Die ein- fachste Art, wie in einem Ausdrucke beide Verknüpfungen vorkom- men können, ist die, dass das Ergebniss der einen Verknüpfung der zweiten unterworfen wird, also wenn ⌢ und ⏒ die Zeichen der beiden Verknüpfungen sind, so hängt das Verhältniss beider von den Umgestaltungen ab, welche mit dem Ausdruck (a ◠ b) ⏒ c vor- genommen werden dürfen. Wenn sich die zweite Verknüpfung auf beide Glieder der ersten gleichmässig beziehen soll, so bietet sich als die einfachste Umgestaltung die dar, dass man jedes Glied der ersten Verknüpfung der zweiten unterwerfen, und dann diese ein- zelnen Ergebnisse als Glieder der ersten Verknüpfungsweise setzen könne. Wenn diese Umgestaltung ohne Aenderung des Gesammt- ergebnisses vorgenommen werden kann, d. h. also (a ◠ b) ⏒ c = (a ⏒ c) ◠ (b ⏒ c) ist, so nennen wir die zweite Verknüpfung die jener ersten entsprechende Verknüpfung nächst höherer Stufe. Sind ins besondere bei dieser zweiten Verknüpfung beide Glieder auf gleiche Weise abhängig von der ersten, so dass also jene Bestim- mung sowohl für das Hinterglied der neuen Verbindung gilt, wie für deren Vorderglied, und ist ferner die erstere Verknüpfung eine einfache, und ihre entsprechende analytische eine eindeutige, so nennen wir die letztere Multiplikation, während wir für die erstere schon oben den Namen der Addition festgesetzt hatten. Es ist dies überhaupt die Art, wie von vorne herein, d. h. wenn noch keine Verknüpfungsart gegeben ist, eine solche nebst der sich dar- an anschliessenden höheren bestimmt werden kann. Daher be- trachten wir auch die Addition als die Verknüpfung erster Stufe,

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 10. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/46>, abgerufen am 23.11.2024.