Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 8 Indifferente u. analyt. Form -- Add. des Gleichart. setze bestimmten. Dieser formelle Begriff bleibt auch immer dereinzige allgemeine. Doch ist dies nicht die Art, wie wir in den einzelnen Zweigen der Mathematik zu diesem Begriffe gelangen. Vielmehr ergiebt sich in ihnen aus der Erzeugung der Grössen selbst eine eigenthümliche Verknüpfungsweise, welche sich denn dadurch, dass jene formellen Gesetze auf sie anwendbar sind, als Addition in dem eben angegebenen allgemeinen Sinne darstellt. Be- trachten wir nämlich zwei Grössen (Formen), welche durch Fort- setzung derselben Erzeugungsweise hervorgehen, und welche wir "in gleichem Sinne erzeugt" nennen, so ist klar, wie man beide so an einander reihen kann, dass beide Ein Ganzes ausmachen, in- dem ihr beiderseitiger Inhalt, d. h. die Theile, welche beide ent- halten, in eins zusammengedacht werden, und dies Ganze dann mit jenen beiden Grössen gleichfalls in gleichem Sinne erzeugt gedacht wird. Nun ist leicht zu zeigen, dass diese Verknüpfung eine Addition ist, d. h. dass sie eine einfache, und ihre Analyse eine eindeutige ist. Zuerst kann ich beliebig zusammenfassen und beliebig vertauschen, weil die Theile, welche zusammengedacht werden, dabei dieselben bleiben, und ihre Folge nichts ändern kann, da sie alle gleich sind (als durch gleiche Erzeugungen ent- standen); aber es ist auch ihre Analyse eindeutig; denn wäre dies nicht der Fall, so müsste bei der synthetischen Verknüpfung, wäh- rend das eine Glied und das Ergebniss dasselbe bliebe, das andere Glied verschiedene Werthe annehmen können; von diesen Werthen müsste dann der eine grösser sein als der andere; also müssten dann zu dem letzteren noch Theile hinzukommen; aber dann wür- den auch zu dem Ergebnisse dieselben Theile hinzukommen, das Ergebniss also ein anderes werden, wider die Voraussetzung. Also da auch die entsprechende analytische Verknüpfung eindeutig ist, so ist die synthetische Verknüpfung als Addition aufzufassen, die entsprechende analytische als Subtraktion, und es gelten demnach für diese Verknüpfungen alle in §§ 3--7 aufgestellten Gesetze. Es ergab sich dort, dass die Gesetze dieser Verknüpfungen auch dann unverändert bestehen bleiben, wenn die Glieder negativ wer- den. Vergleichen wir die negativen Grössen mit den positiven, so können wir sagen, sie seien im entgegengesetzten Sinne er- zeugt; und sowohl die in gleichem als die in entgegengesetztem § 8 Indifferente u. analyt. Form — Add. des Gleichart. setze bestimmten. Dieser formelle Begriff bleibt auch immer dereinzige allgemeine. Doch ist dies nicht die Art, wie wir in den einzelnen Zweigen der Mathematik zu diesem Begriffe gelangen. Vielmehr ergiebt sich in ihnen aus der Erzeugung der Grössen selbst eine eigenthümliche Verknüpfungsweise, welche sich denn dadurch, dass jene formellen Gesetze auf sie anwendbar sind, als Addition in dem eben angegebenen allgemeinen Sinne darstellt. Be- trachten wir nämlich zwei Grössen (Formen), welche durch Fort- setzung derselben Erzeugungsweise hervorgehen, und welche wir „in gleichem Sinne erzeugt“ nennen, so ist klar, wie man beide so an einander reihen kann, dass beide Ein Ganzes ausmachen, in- dem ihr beiderseitiger Inhalt, d. h. die Theile, welche beide ent- halten, in eins zusammengedacht werden, und dies Ganze dann mit jenen beiden Grössen gleichfalls in gleichem Sinne erzeugt gedacht wird. Nun ist leicht zu zeigen, dass diese Verknüpfung eine Addition ist, d. h. dass sie eine einfache, und ihre Analyse eine eindeutige ist. Zuerst kann ich beliebig zusammenfassen und beliebig vertauschen, weil die Theile, welche zusammengedacht werden, dabei dieselben bleiben, und ihre Folge nichts ändern kann, da sie alle gleich sind (als durch gleiche Erzeugungen ent- standen); aber es ist auch ihre Analyse eindeutig; denn wäre dies nicht der Fall, so müsste bei der synthetischen Verknüpfung, wäh- rend das eine Glied und das Ergebniss dasselbe bliebe, das andere Glied verschiedene Werthe annehmen können; von diesen Werthen müsste dann der eine grösser sein als der andere; also müssten dann zu dem letzteren noch Theile hinzukommen; aber dann wür- den auch zu dem Ergebnisse dieselben Theile hinzukommen, das Ergebniss also ein anderes werden, wider die Voraussetzung. Also da auch die entsprechende analytische Verknüpfung eindeutig ist, so ist die synthetische Verknüpfung als Addition aufzufassen, die entsprechende analytische als Subtraktion, und es gelten demnach für diese Verknüpfungen alle in §§ 3—7 aufgestellten Gesetze. Es ergab sich dort, dass die Gesetze dieser Verknüpfungen auch dann unverändert bestehen bleiben, wenn die Glieder negativ wer- den. Vergleichen wir die negativen Grössen mit den positiven, so können wir sagen, sie seien im entgegengesetzten Sinne er- zeugt; und sowohl die in gleichem als die in entgegengesetztem <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0045" n="9"/><fw place="top" type="header">§ 8 Indifferente u. analyt. Form — Add. des Gleichart.</fw><lb/> setze bestimmten. Dieser formelle Begriff bleibt auch immer der<lb/> einzige allgemeine. 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§ 8 Indifferente u. analyt. Form — Add. des Gleichart.
setze bestimmten. Dieser formelle Begriff bleibt auch immer der
einzige allgemeine. Doch ist dies nicht die Art, wie wir in den
einzelnen Zweigen der Mathematik zu diesem Begriffe gelangen.
Vielmehr ergiebt sich in ihnen aus der Erzeugung der Grössen
selbst eine eigenthümliche Verknüpfungsweise, welche sich denn
dadurch, dass jene formellen Gesetze auf sie anwendbar sind, als
Addition in dem eben angegebenen allgemeinen Sinne darstellt. Be-
trachten wir nämlich zwei Grössen (Formen), welche durch Fort-
setzung derselben Erzeugungsweise hervorgehen, und welche wir
„in gleichem Sinne erzeugt“ nennen, so ist klar, wie man beide
so an einander reihen kann, dass beide Ein Ganzes ausmachen, in-
dem ihr beiderseitiger Inhalt, d. h. die Theile, welche beide ent-
halten, in eins zusammengedacht werden, und dies Ganze dann
mit jenen beiden Grössen gleichfalls in gleichem Sinne erzeugt
gedacht wird. Nun ist leicht zu zeigen, dass diese Verknüpfung
eine Addition ist, d. h. dass sie eine einfache, und ihre Analyse
eine eindeutige ist. Zuerst kann ich beliebig zusammenfassen und
beliebig vertauschen, weil die Theile, welche zusammengedacht
werden, dabei dieselben bleiben, und ihre Folge nichts ändern
kann, da sie alle gleich sind (als durch gleiche Erzeugungen ent-
standen); aber es ist auch ihre Analyse eindeutig; denn wäre dies
nicht der Fall, so müsste bei der synthetischen Verknüpfung, wäh-
rend das eine Glied und das Ergebniss dasselbe bliebe, das andere
Glied verschiedene Werthe annehmen können; von diesen Werthen
müsste dann der eine grösser sein als der andere; also müssten
dann zu dem letzteren noch Theile hinzukommen; aber dann wür-
den auch zu dem Ergebnisse dieselben Theile hinzukommen, das
Ergebniss also ein anderes werden, wider die Voraussetzung. Also
da auch die entsprechende analytische Verknüpfung eindeutig ist,
so ist die synthetische Verknüpfung als Addition aufzufassen, die
entsprechende analytische als Subtraktion, und es gelten demnach
für diese Verknüpfungen alle in §§ 3—7 aufgestellten Gesetze.
Es ergab sich dort, dass die Gesetze dieser Verknüpfungen auch
dann unverändert bestehen bleiben, wenn die Glieder negativ wer-
den. Vergleichen wir die negativen Grössen mit den positiven, so
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 9. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/45>, abgerufen am 21.11.2024. |
