Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man:vorausgesetzt, dass nicht r = 0 und dabei die Werthe von dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen Werthes von Ph durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt. Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich -- 1/2p 1) Wenn g = -- 1/2p, wird Die Function 2) Wenn wir g = 0 setzen, wird Daraus ergiebt sich ferner leicht, dass wenn wir setzen: Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man:vorausgesetzt, daſs nicht r = 0 und dabei die Werthe von dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt. Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich — ½π 1) Wenn g = — ½π, wird Die Function 2) Wenn wir g = 0 setzen, wird Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen: <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0026" n="16"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> Wenn man die drei Gleichungen (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) addirt, so erhält man:<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Psi = -Ak^2\frac{\cos(kr+g)}{r} = -k^2\Psi</formula>,<lb/> vorausgesetzt, daſs nicht <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0 und dabei die Werthe von <formula notation="TeX">\frac{d^2\Psi}{dx^2}</formula>, <formula notation="TeX">\frac{d^2\Psi}{dy^2}</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\frac{d^2\Psi}{dz^2}</formula> und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also<lb/> dann die Diffentialgleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen<lb/> Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.</p><lb/> <p>Indem wir in Gleichung (4.) <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">g</hi></hi> entweder gleich Null oder gleich — ½π<lb/> machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.</p><lb/> <p>1) Wenn <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">g</hi></hi> = — ½π, wird<lb/> (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi = A\frac{\sin kr}{r}</formula>,<lb/> und erhält für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0 den endlichen Werth <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Ak</hi></hi>. Auch die Differentialquotien-<lb/> ten bleiben endlich, es wird nämlich für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0<lb/><formula notation="TeX">\frac{d^2\Psi}{dx^2} = \frac{d^2\Psi}{dy^2} = \frac{d^2\Psi}{dz^2} = -\frac{1}{3}Ak^3</formula>,<lb/> wie man leicht sieht, wenn man cos <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">kr</hi></hi> und sin <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">kr</hi></hi> nach Potenzen der ver-<lb/> schwindenden Gröſse <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> entwickelt. Daraus ergiebt sich für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0<lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0</formula>.</p><lb/> <p>Die Function <formula notation="TeX">\Psi = A\frac{\sin kr}{r}</formula> ist also ein solches particulares Integral der Glei-<lb/> chung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist.</p><lb/> <p>2) Wenn wir <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">g</hi></hi> = 0 setzen, wird<lb/> (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi = A\frac{\cos kr}{r}</formula><lb/> und für <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">r</hi></hi> = 0 unendlich groſs, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die<lb/> Gleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk-<lb/> tes α, β, γ.</p><lb/> <p>Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen:<lb/> (4<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">e</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\Psi = \Sigma_{\alpha,\beta,\gamma}\left[A_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\sin kr}{r}\right]</formula>,<lb/> wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">A</hi></hi><lb/> verschieden sind, die Gleichung (3<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus-<lb/> nahme der Punkte α, β, γ.</p><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [16/0026]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man:
[FORMEL],
vorausgesetzt, daſs nicht r = 0 und dabei die Werthe von [FORMEL], [FORMEL],
[FORMEL] und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also
dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen
Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.
Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich — ½π
machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.
1) Wenn g = — ½π, wird
(4c.) [FORMEL],
und erhält für r = 0 den endlichen Werth Ak. Auch die Differentialquotien-
ten bleiben endlich, es wird nämlich für r = 0
[FORMEL],
wie man leicht sieht, wenn man cos kr und sin kr nach Potenzen der ver-
schwindenden Gröſse r entwickelt. Daraus ergiebt sich für r = 0
[FORMEL].
Die Function [FORMEL] ist also ein solches particulares Integral der Glei-
chung (3b.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist.
2) Wenn wir g = 0 setzen, wird
(4d.) [FORMEL]
und für r = 0 unendlich groſs, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die
Gleichung (3b.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk-
tes α, β, γ.
Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen:
(4e.) [FORMEL],
wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und A
verschieden sind, die Gleichung (3b.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus-
nahme der Punkte α, β, γ.
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