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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Potential einer Doppelschicht von Erregungspunkten, die derselben Fläche an-
liegen. Denken wir die eine Schicht mit der Dichtigkeit auf der
äusseren Seite der Oberfläche von S in der unendlich kleinen Entfernung 1/2e
von dieser Oberfläche ausgebreitet, die andere mit der Dichtigkeit auf
der inneren Seite der Oberfläche von S auch in der unendlich kleinen Ent-
fernung 1/2e von dieser Oberfläche entfernt, so wird das Potential dieser Schich-
ten sein: . Somit lässt sich jede stetige und eindeutige
Function Ps, welche in allen Theilen des Raumes S der Gleichung genügt:
,
als Geschwindigkeitspotential von Erregungspunkten ausdrücken, die blos
längs der Oberfläche von S ausgebreitet sind.

Hier aber hört die Aehnlichkeit mit den electrischen Potentialfunctionen
auf, indem diese letzteren sich stets ausdrücken lassen als Potentialfunctionen
einer einfachen Schicht von Electricität an der Oberfläche des Raumes, was
bei unseren Potentialen zwar im Allgemeinen auch der Fall ist, aber für eine
unendlich grosse Zahl von bestimmten Werthen von k für eine jede gegebene
geschlossene Oberfläche Ausnahmen erleidet. Es sind dies nämlich diejenigen
Werthe von k, die den eigenen Tönen der eingeschlossenen Luftmasse ent-
sprechen.

Man kann sich davon leicht an einem Beispiele überzeugen, indem man
das Potential für eine gleichmässig und continuirlich mit Erregungspunkten be-
legte Kugelschaale berechnet.

Wenn sämmtliche Dimensionen des Raumes S sehr klein gegen die
Wellenlänge sind, kann kr gegen 1 vernachlässigt werden, so oft r die Ent-
fernung zweier innerhalb S gelegener Punkte ist. Unter diesen Umständen
wird die Gleichung (7d.)
.

Bei dieser Weglassung unendlich kleiner Grössen wird also Ps eine Function,
welche der Gleichung Ps = 0 im Raume S genügt, und es folgt daraus,
dass man in Räumen, deren Dimensionen gegen die Wellenlänge verschwin-
dend klein sind, statt der Functionen, die der Gleichung Ps + k2 Ps = 0 ge-
nügen, stets unendlich wenig davon unterschiedene Functionen finden kann,
die der Gleichung Ps = 0 genügen.


Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Potential einer Doppelschicht von Erregungspunkten, die derselben Fläche an-
liegen. Denken wir die eine Schicht mit der Dichtigkeit auf der
äuſseren Seite der Oberfläche von S in der unendlich kleinen Entfernung ½ε
von dieser Oberfläche ausgebreitet, die andere mit der Dichtigkeit auf
der inneren Seite der Oberfläche von S auch in der unendlich kleinen Ent-
fernung ½ε von dieser Oberfläche entfernt, so wird das Potential dieser Schich-
ten sein: . Somit läſst sich jede stetige und eindeutige
Function Ψ, welche in allen Theilen des Raumes S der Gleichung genügt:
,
als Geschwindigkeitspotential von Erregungspunkten ausdrücken, die blos
längs der Oberfläche von S ausgebreitet sind.

Hier aber hört die Aehnlichkeit mit den electrischen Potentialfunctionen
auf, indem diese letzteren sich stets ausdrücken lassen als Potentialfunctionen
einer einfachen Schicht von Electricität an der Oberfläche des Raumes, was
bei unseren Potentialen zwar im Allgemeinen auch der Fall ist, aber für eine
unendlich groſse Zahl von bestimmten Werthen von k für eine jede gegebene
geschlossene Oberfläche Ausnahmen erleidet. Es sind dies nämlich diejenigen
Werthe von k, die den eigenen Tönen der eingeschlossenen Luftmasse ent-
sprechen.

Man kann sich davon leicht an einem Beispiele überzeugen, indem man
das Potential für eine gleichmäſsig und continuirlich mit Erregungspunkten be-
legte Kugelschaale berechnet.

Wenn sämmtliche Dimensionen des Raumes S sehr klein gegen die
Wellenlänge sind, kann kr gegen 1 vernachlässigt werden, so oft r die Ent-
fernung zweier innerhalb S gelegener Punkte ist. Unter diesen Umständen
wird die Gleichung (7d.)
.

Bei dieser Weglassung unendlich kleiner Gröſsen wird also Ψ eine Function,
welche der Gleichung ∇Ψ = 0 im Raume S genügt, und es folgt daraus,
daſs man in Räumen, deren Dimensionen gegen die Wellenlänge verschwin-
dend klein sind, statt der Functionen, die der Gleichung ∇Ψ + k2 Ψ = 0 ge-
nügen, stets unendlich wenig davon unterschiedene Functionen finden kann,
die der Gleichung ∇Ψ = 0 genügen.


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[24/0034] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Potential einer Doppelschicht von Erregungspunkten, die derselben Fläche an- liegen. Denken wir die eine Schicht mit der Dichtigkeit [FORMEL] auf der äuſseren Seite der Oberfläche von S in der unendlich kleinen Entfernung ½ε von dieser Oberfläche ausgebreitet, die andere mit der Dichtigkeit [FORMEL] auf der inneren Seite der Oberfläche von S auch in der unendlich kleinen Ent- fernung ½ε von dieser Oberfläche entfernt, so wird das Potential dieser Schich- ten sein: [FORMEL]. Somit läſst sich jede stetige und eindeutige Function Ψ, welche in allen Theilen des Raumes S der Gleichung genügt: [FORMEL], als Geschwindigkeitspotential von Erregungspunkten ausdrücken, die blos längs der Oberfläche von S ausgebreitet sind. Hier aber hört die Aehnlichkeit mit den electrischen Potentialfunctionen auf, indem diese letzteren sich stets ausdrücken lassen als Potentialfunctionen einer einfachen Schicht von Electricität an der Oberfläche des Raumes, was bei unseren Potentialen zwar im Allgemeinen auch der Fall ist, aber für eine unendlich groſse Zahl von bestimmten Werthen von k für eine jede gegebene geschlossene Oberfläche Ausnahmen erleidet. Es sind dies nämlich diejenigen Werthe von k, die den eigenen Tönen der eingeschlossenen Luftmasse ent- sprechen. Man kann sich davon leicht an einem Beispiele überzeugen, indem man das Potential für eine gleichmäſsig und continuirlich mit Erregungspunkten be- legte Kugelschaale berechnet. Wenn sämmtliche Dimensionen des Raumes S sehr klein gegen die Wellenlänge sind, kann kr gegen 1 vernachlässigt werden, so oft r die Ent- fernung zweier innerhalb S gelegener Punkte ist. Unter diesen Umständen wird die Gleichung (7d.) [FORMEL]. Bei dieser Weglassung unendlich kleiner Gröſsen wird also Ψ eine Function, welche der Gleichung ∇Ψ = 0 im Raume S genügt, und es folgt daraus, daſs man in Räumen, deren Dimensionen gegen die Wellenlänge verschwin- dend klein sind, statt der Functionen, die der Gleichung ∇Ψ + k2 Ψ = 0 ge- nügen, stets unendlich wenig davon unterschiedene Functionen finden kann, die der Gleichung ∇Ψ = 0 genügen.

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 24. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/34>, abgerufen am 22.12.2024.