Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Sind Ps und Ph Geschwindigkeitspotentiale von ausserhalb S gelegenen Er- Green hat bewiesen, dass eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt, Die Gleichung (7.) wird also Somit ist die Function Ps, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten, Nun ist das Integral Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb S gelegenen Er- Green hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt, Die Gleichung (7.) wird also Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten, Nun ist das Integral <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0033" n="23"/> <fw place="top" type="header"> <hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi> </fw><lb/> <p>Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> gelegenen Er-<lb/> regungspunkten, so wird<lb/> (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega = \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega</formula>.</p><lb/> <p><hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Green</hi></hi> hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) auch richtig bleibt,<lb/> wenn in einem unendlich kleinen Raumelement <hi rendition="#i">ds</hi> des Raumes <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> die Dichtig-<lb/> keit <hi rendition="#i">p</hi> einen so groſsen constanten Werth annimmt, daſs <hi rendition="#i">p ds</hi> einer endlichen<lb/> Gröſse <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">A</hi></hi> gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt,<lb/> sondern unstetig wird, wie <formula notation="TeX">\frac{A}{r}</formula>. Nehmen wir an, daſs Φ das Geschwindig-<lb/> keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente <hi rendition="#i">ds</hi>, dessen Coor-<lb/> dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmäſsigen Dichtigkeit <hi rendition="#i">p</hi> vertheilten Er-<lb/> regungspunkte sei, während <hi rendition="#i">p</hi> überall sonst gleich Null ist, so daſs also Φ<lb/> in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe:<lb/><formula notation="TeX">\Phi = A\frac{\cos kr}{r}</formula>,<lb/> so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.),<lb/> indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">a</hi></hi> bezeich-<lb/> nen, auf<lb/><formula notation="TeX">\Psi_\alpha\int p ds = A\Psi_\alpha</formula>.</p><lb/> <p>Die Gleichung (7.) wird also<lb/> (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) <formula notation="TeX">-4\pi\Psi_\alpha = \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega - \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega + \int\int\int(\nabla_x\Psi + k^2\Psi)\frac{\cos kr}{r}dxdydz</formula>.</p><lb/> <p>Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten,<lb/> eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf<lb/> die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb<lb/> des ganzen Raumes <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi><lb/><formula notation="TeX">\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0</formula>,<lb/> so wird die Gleichung (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.):<lb/> (7<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega - \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega = 4\pi\Psi_\alpha</formula>.</p><lb/> <p>Nun ist das Integral <formula notation="TeX">\int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}</formula> das Potential einer Schicht von Erre-<lb/> gungspunkten, welche an der Oberfläche von <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> ausgebreitet ist und die<lb/> Dichtigkeit <formula notation="TeX">\frac{d\Psi}{dn}</formula> hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [23/0033]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb S gelegenen Er-
regungspunkten, so wird
(7b.) [FORMEL].
Green hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt,
wenn in einem unendlich kleinen Raumelement ds des Raumes S die Dichtig-
keit p einen so groſsen constanten Werth annimmt, daſs p ds einer endlichen
Gröſse A gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt,
sondern unstetig wird, wie [FORMEL]. Nehmen wir an, daſs Φ das Geschwindig-
keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente ds, dessen Coor-
dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmäſsigen Dichtigkeit p vertheilten Er-
regungspunkte sei, während p überall sonst gleich Null ist, so daſs also Φ
in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe:
[FORMEL],
so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7a.),
indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψa bezeich-
nen, auf
[FORMEL].
Die Gleichung (7.) wird also
(7c.) [FORMEL].
Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten,
eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf
die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb
des ganzen Raumes S
[FORMEL],
so wird die Gleichung (7c.):
(7d.) [FORMEL].
Nun ist das Integral [FORMEL] das Potential einer Schicht von Erre-
gungspunkten, welche an der Oberfläche von S ausgebreitet ist und die
Dichtigkeit [FORMEL] hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das
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| Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 23. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/33>, abgerufen am 22.12.2024. |
