Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11a.), (11d.), (11f.), Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11a.), (11d.), (11f.), <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0046" n="36"/> <fw place="top" type="header"> <hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi> </fw><lb/> <p>Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum<lb/> der Röhre an von der Ebene der Mündung bis zu einem Querschnitt in der<lb/> Region der ebenen Wellen für die Function Ψ' und<lb/><formula notation="TeX">\Phi = \sin kx</formula>,<lb/> (7<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">b</hi></hi>.) <formula notation="TeX">\int\Psi'\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi'}{dn} = 0</formula><lb/> Am Querschnitte der Röhre wird<lb/><formula notation="TeX">\Psi'\frac{d\Phi}{dx} - \Phi\frac{d\Psi'}{dx} = kB</formula>.<lb/> An der Wand der Röhre wird <formula notation="TeX">\frac{d\Psi'}{dn} = 0</formula>, an ihrer Mündung Φ = 0, so daſs<lb/> das zweite Integral der Gleichung (7<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">b</hi></hi>.) verschwindet. Im ersten wird an der<lb/> Wand der Röhre:<lb/><formula notation="TeX">\frac{d\Phi}{dn} = k\cos kx\cos\beta</formula>,<lb/> an der Mündung <formula notation="TeX">\frac{d\Phi}{dn} = -k</formula>. Also haben wir:<lb/> (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">h</hi></hi>.) <formula notation="TeX">QB + \int\Psi'\cos kx\cos\beta d\omega - \int\overline{\Psi'}d\omega = 0</formula>,<lb/> wo das erste Integral über den nicht cylindrischen Theil der Röhrenwand<lb/> auszudehnen ist, so weit cosβ sich von Null unterscheidet, das zweite über<lb/> die Oeffnung der Röhre.</p><lb/> <milestone rendition="#hr" unit="section"/> <p>Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">a</hi></hi>.), (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">d</hi></hi>.), (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">f</hi></hi>.),<lb/> (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">g</hi></hi>.), (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">h</hi></hi>.) die Werthe der Coefficienten <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">A, B,</hi><hi rendition="#fr">B</hi>, <hi rendition="#b">M, M<hi rendition="#sub">1</hi></hi></hi> und der<lb/> Functionen Ψ' und Ψ″ im freien Raume zurückgeführt auf Integrale, in denen<lb/> nur die Werthe vorkommen, welche Ψ', Ψ″ und ihre Differentialquotienten<lb/> theils in der Mündung der Röhre selbst, theils an dem nicht cylindrischen<lb/> Theile ihrer Wand haben. Wir wollen jetzt die Vereinfachungen dieser Aus-<lb/> drücke einführen, welche daraus herflieſsen, daſs die Dimensionen der Mün-<lb/> dung und die Länge des nicht cylindrischen Theiles der Röhre unserer Annahme<lb/> nach gegen die Wellenlänge verschwindend klein sein sollen. Vernachlässigen<lb/> wir Gröſsen von der Ordnung <hi rendition="#i">k</hi>ε gegen 1, so nehmen unsere Gleichungen<lb/> (11.), (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">a</hi></hi>.) und (11<hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">f</hi></hi>.) folgende Gestalt an<lb/> (12.) <formula notation="TeX">AQ = \int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega</formula>,<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [36/0046]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum
der Röhre an von der Ebene der Mündung bis zu einem Querschnitt in der
Region der ebenen Wellen für die Function Ψ' und
[FORMEL],
(7b.) [FORMEL]
Am Querschnitte der Röhre wird
[FORMEL].
An der Wand der Röhre wird [FORMEL], an ihrer Mündung Φ = 0, so daſs
das zweite Integral der Gleichung (7b.) verschwindet. Im ersten wird an der
Wand der Röhre:
[FORMEL],
an der Mündung [FORMEL]. Also haben wir:
(11h.) [FORMEL],
wo das erste Integral über den nicht cylindrischen Theil der Röhrenwand
auszudehnen ist, so weit cosβ sich von Null unterscheidet, das zweite über
die Oeffnung der Röhre.
Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11a.), (11d.), (11f.),
(11g.), (11h.) die Werthe der Coefficienten A, B,B, M, M1 und der
Functionen Ψ' und Ψ″ im freien Raume zurückgeführt auf Integrale, in denen
nur die Werthe vorkommen, welche Ψ', Ψ″ und ihre Differentialquotienten
theils in der Mündung der Röhre selbst, theils an dem nicht cylindrischen
Theile ihrer Wand haben. Wir wollen jetzt die Vereinfachungen dieser Aus-
drücke einführen, welche daraus herflieſsen, daſs die Dimensionen der Mün-
dung und die Länge des nicht cylindrischen Theiles der Röhre unserer Annahme
nach gegen die Wellenlänge verschwindend klein sein sollen. Vernachlässigen
wir Gröſsen von der Ordnung kε gegen 1, so nehmen unsere Gleichungen
(11.), (11a.) und (11f.) folgende Gestalt an
(12.) [FORMEL],
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| Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 36. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/46>, abgerufen am 22.12.2024. |
