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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(12a.) ,
(12b.) .
Für den Werth von M1 ist zu bemerken, dass das von k unabhängige Glied
desselben nach (11a.) selbst eine verschwindend kleine Grösse ist,
dass ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte der
Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor-
dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, dass er in der Oeffnung der Röhre
liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich-
tigkeit über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der
Werth von M1 auf verschwindend kleine Grössen, nämlich
(12c.) .
Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig
von den Winkeln o und th betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten
,
oder mit Berücksichtigung von
(12b.) ,
(12d.) ,
endlich
(12e.) .
Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung
kleiner Grössen

und
(12b.) ,
so sind M oder AQ und Grössen von gleicher Ordnung. Nun können
wir die Gleichung (12e.) schreiben
,

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(12a.) ,
(12b.) .
Für den Werth von M1 ist zu bemerken, daſs das von k unabhängige Glied
desselben nach (11a.) selbst eine verschwindend kleine Gröſse ist,
daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte der
Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor-
dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre
liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich-
tigkeit über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der
Werth von M1 auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich
(12c.) .
Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig
von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten
,
oder mit Berücksichtigung von
(12b.) ,
(12d.) ,
endlich
(12e.) .
Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung
kleiner Gröſsen

und
(12b.) ,
so sind M oder AQ und Gröſsen von gleicher Ordnung. Nun können
wir die Gleichung (12e.) schreiben
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[37/0047] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. (12a.) [FORMEL], (12b.) [FORMEL]. Für den Werth von M1 ist zu bemerken, daſs das von k unabhängige Glied desselben [FORMEL] nach (11a.) selbst eine verschwindend kleine Gröſse ist, daſs ferner auch das mit der ersten Potenz von k multiplicirte [FORMEL] der Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor- dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, daſs er in der Oeffnung der Röhre liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich- tigkeit [FORMEL] über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der Werth von M1 auf verschwindend kleine Gröſsen, nämlich (12c.) [FORMEL]. Wir werden also M1 gegen M vernachlässigen und letzteres als unabhängig von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11g.) erhalten [FORMEL], oder mit Berücksichtigung von (12b.) [FORMEL], (12d.) [FORMEL], endlich (12e.) [FORMEL]. Da nun übrigens nach (11e.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung kleiner Gröſsen [FORMEL] und (12b.) [FORMEL], so sind M oder AQ und [FORMEL] Gröſsen von gleicher Ordnung. Nun können wir die Gleichung (12e.) schreiben [FORMEL],

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/47>, abgerufen am 22.12.2024.