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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(13a.) ,
 wenn
,
.
Die Werthe von x, für welche J2 ein Maximum oder Minimum wird, werden
gefunden durch die Gleichung
(13b.) .
Wenn x0 ein Werth ist, der für x gesetzt diese Gleichung erfüllt, so wird
sie auch erfüllt durch
,
worin a eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. Die
Maxima und Minima der Schwingung liegen also in der Röhre um Viertel-
wellenlängen von einander entfernt. Sie liegen aber nicht nothwendig um
ein genaues Vielfache einer Viertelwellenlänge von der Oeffnung der Röhre
entfernt. Wenn, wie wir im Folgenden immer annehmen wollen, k2Q eine
unendlich kleine Grösse ist, so wird mit Vernachlässigung der kleinen Grössen
zweiter Ordnung die Gleichung (13b.):
.
Dann wird J2 ein Maximum , wenn
, also ,
,
und J2 wird ein Minimum , wenn
, also ,
.
Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt, so würde
in der kleinen Entfernung a vor der Oeffnung ein Maximum der Schwingung lie-
gen. Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem
um die Länge a vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte ge-

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 6

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(13a.) ,
 wenn
,
.
Die Werthe von x, für welche J2 ein Maximum oder Minimum wird, werden
gefunden durch die Gleichung
(13b.) .
Wenn x0 ein Werth ist, der für x gesetzt diese Gleichung erfüllt, so wird
sie auch erfüllt durch
,
worin a eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. Die
Maxima und Minima der Schwingung liegen also in der Röhre um Viertel-
wellenlängen von einander entfernt. Sie liegen aber nicht nothwendig um
ein genaues Vielfache einer Viertelwellenlänge von der Oeffnung der Röhre
entfernt. Wenn, wie wir im Folgenden immer annehmen wollen, k2Q eine
unendlich kleine Gröſse ist, so wird mit Vernachlässigung der kleinen Gröſsen
zweiter Ordnung die Gleichung (13b.):
.
Dann wird J2 ein Maximum , wenn
, also ,
,
und J2 wird ein Minimum , wenn
, also ,
.
Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt, so würde
in der kleinen Entfernung α vor der Oeffnung ein Maximum der Schwingung lie-
gen. Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem
um die Länge α vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte ge-

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 6
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[41/0051] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. (13a.) [FORMEL], wenn [FORMEL], [FORMEL]. Die Werthe von x, für welche J2 ein Maximum oder Minimum wird, werden gefunden durch die Gleichung (13b.) [FORMEL]. Wenn x0 ein Werth ist, der für x gesetzt diese Gleichung erfüllt, so wird sie auch erfüllt durch [FORMEL], worin a eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. Die Maxima und Minima der Schwingung liegen also in der Röhre um Viertel- wellenlängen von einander entfernt. Sie liegen aber nicht nothwendig um ein genaues Vielfache einer Viertelwellenlänge von der Oeffnung der Röhre entfernt. Wenn, wie wir im Folgenden immer annehmen wollen, k2Q eine unendlich kleine Gröſse ist, so wird mit Vernachlässigung der kleinen Gröſsen zweiter Ordnung die Gleichung (13b.): [FORMEL]. Dann wird J2 ein Maximum [FORMEL], wenn [FORMEL], also [FORMEL], [FORMEL], und J2 wird ein Minimum [FORMEL], wenn [FORMEL], also [FORMEL], [FORMEL]. Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt, so würde in der kleinen Entfernung α vor der Oeffnung ein Maximum der Schwingung lie- gen. Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem um die Länge α vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte ge- Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 6

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/51>, abgerufen am 22.12.2024.