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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
2) für grosse negative Werthe von x folgende Form anzunehmen:
(18b.) ,
3) an der Fläche der Oeffnung den Bedingungen zu genügen:
(18c.) und .
Dann wird die Form der Röhre gefunden durch die Bedingung, dass an der Wand
(18d.) ,
welche Form aber noch der Bedingung genügen muss, dass nur für solche
Werthe von x, welche gegen die Wellenlänge l verschwindend klein sind,
die Fläche eine merkliche Neigung gegen die x - Axe haben darf, weil wir
vorher auch

gesetzt haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und weil nur
unter dieser Bedingung die Form der Röhrenwand von der Wellenlänge un-
abhängig gefunden wird. Indem wir setzen:
, ,
und berücksichtigen, dass nach der Voraussetzung Ps nur eine Function von
r und x, nicht von o sein soll, wird Gleichung (18a.)
(18e.) .
Wir setzen:
(19.) ,
wo Em beliebige Constanten, U(mr) folgende Function bedeutet:
(19a.) u. s. w.,
und unter dem Summenzeichen für m diejenigen Werthe zu setzen sind, welche
machen, wenn r = R1. Dann ist Ph eine Function, welche der
Differentialgleichung (18e.) Genüge leistet und an der Wand einer cylin-
drischen Röhre vom Radius R1 auch der Bedingung genügt, dass .
In dem Exponenten von e muss der Wurzel immer das positive Vorzeichen
gegeben werden, wenn die Röhre unendlich lang ist, damit Ph für unendliche
negative x endlich bleibt. Ist die Röhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
2) für groſse negative Werthe von x folgende Form anzunehmen:
(18b.) ,
3) an der Fläche der Oeffnung den Bedingungen zu genügen:
(18c.) und .
Dann wird die Form der Röhre gefunden durch die Bedingung, daſs an der Wand
(18d.) ,
welche Form aber noch der Bedingung genügen muſs, daſs nur für solche
Werthe von x, welche gegen die Wellenlänge λ verschwindend klein sind,
die Fläche eine merkliche Neigung gegen die x - Axe haben darf, weil wir
vorher auch

gesetzt haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und weil nur
unter dieser Bedingung die Form der Röhrenwand von der Wellenlänge un-
abhängig gefunden wird. Indem wir setzen:
, ,
und berücksichtigen, daſs nach der Voraussetzung Ψ nur eine Function von
ϱ und x, nicht von ω sein soll, wird Gleichung (18a.)
(18e.) .
Wir setzen:
(19.) ,
wo Em beliebige Constanten, U(mϱ) folgende Function bedeutet:
(19a.) u. s. w.,
und unter dem Summenzeichen für m diejenigen Werthe zu setzen sind, welche
machen, wenn ϱ = R1. Dann ist Φ eine Function, welche der
Differentialgleichung (18e.) Genüge leistet und an der Wand einer cylin-
drischen Röhre vom Radius R1 auch der Bedingung genügt, daſs .
In dem Exponenten von e muſs der Wurzel immer das positive Vorzeichen
gegeben werden, wenn die Röhre unendlich lang ist, damit Φ für unendliche
negative x endlich bleibt. Ist die Röhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind

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[52/0062] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. 2) für groſse negative Werthe von x folgende Form anzunehmen: (18b.) [FORMEL], 3) an der Fläche der Oeffnung den Bedingungen zu genügen: (18c.) [FORMEL] und [FORMEL]. Dann wird die Form der Röhre gefunden durch die Bedingung, daſs an der Wand (18d.) [FORMEL], welche Form aber noch der Bedingung genügen muſs, daſs nur für solche Werthe von x, welche gegen die Wellenlänge λ verschwindend klein sind, die Fläche eine merkliche Neigung gegen die x - Axe haben darf, weil wir vorher auch [FORMEL] gesetzt haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und weil nur unter dieser Bedingung die Form der Röhrenwand von der Wellenlänge un- abhängig gefunden wird. Indem wir setzen: [FORMEL], [FORMEL], und berücksichtigen, daſs nach der Voraussetzung Ψ nur eine Function von ϱ und x, nicht von ω sein soll, wird Gleichung (18a.) (18e.) [FORMEL]. Wir setzen: (19.) [FORMEL], wo Em beliebige Constanten, U(mϱ) folgende Function bedeutet: (19a.) [FORMEL] u. s. w., und unter dem Summenzeichen für m diejenigen Werthe zu setzen sind, welche [FORMEL] machen, wenn ϱ = R1. Dann ist Φ eine Function, welche der Differentialgleichung (18e.) Genüge leistet und an der Wand einer cylin- drischen Röhre vom Radius R1 auch der Bedingung genügt, daſs [FORMEL]. In dem Exponenten von e muſs der Wurzel immer das positive Vorzeichen gegeben werden, wenn die Röhre unendlich lang ist, damit Φ für unendliche negative x endlich bleibt. Ist die Röhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 52. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/62>, abgerufen am 22.12.2024.