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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten der-
selben so zu bestimmen, dass die Grenzbedingungen an dem geschlossenen
Ende erfüllt werden. Da übrigens der kleinste Werth von mR1, der die Be-
dingung für r = R1 erfüllt, 3,83171, der zweite 7,01751 ist, während
die folgenden sich allmälig der Grösse (a + 1/4) p nähern, so nehmen alle diese
Exponentialfunctionen schnell ab, wenn man sich von dem Ende der Röhre
entfernt, an welchem sie einen merklichen Werth haben, und so oft die Länge
der Röhre beträchtlich gross gegen den Durchmesser ist, werden sie in der
Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachlässigen sein. Es wird also
im Allgemeinen genügen, dass wir uns auf die Glieder beschränken, für welche
die Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens mR1
nach dem Gesagten eine endliche, kR1 aber eine verschwindend kleine Zahl
ist, so können wir in dem Exponenten k2 gegen m2 vernachlässigen und setzen
(19b.) .
Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen (18a.)
und (18b.), welche wir oben für die Function Psi aufgestellt haben, sie wird
aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung (18c.) entsprechen, dass,
wenn wir setzen:
,
auch sei:
,
oder, da innerhalb der Oeffnung kr unendlich klein ist, kann man diese Be-
dingung auch darauf reduciren, dass sein müsste:
.
Wäre diese letztere Bedingung durch besondere Annahmen über die Grösse
der Coefficienten erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre einfach cylindrisch
sein. Ich habe aber keine Methode finden können, um die Coefficienten dieser
Bedingung gemäss zu bestimmen und somit die Aufgabe für ganz cylindrische
Röhren streng zu lösen. Auch lässt sich einsehen, dass die Convergenz der
Reihe für Ph in Gleichung (19.) für diesen Fall eine sehr langsame sein
würde, da die Geschwindigkeit der Lufttheilchen am Rande der Oeffnung,
die durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde, unendlich

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten der-
selben so zu bestimmen, daſs die Grenzbedingungen an dem geschlossenen
Ende erfüllt werden. Da übrigens der kleinste Werth von mR1, der die Be-
dingung für ϱ = R1 erfüllt, 3,83171, der zweite 7,01751 ist, während
die folgenden sich allmälig der Gröſse (a + ¼) π nähern, so nehmen alle diese
Exponentialfunctionen schnell ab, wenn man sich von dem Ende der Röhre
entfernt, an welchem sie einen merklichen Werth haben, und so oft die Länge
der Röhre beträchtlich groſs gegen den Durchmesser ist, werden sie in der
Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachlässigen sein. Es wird also
im Allgemeinen genügen, daſs wir uns auf die Glieder beschränken, für welche
die Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens mR1
nach dem Gesagten eine endliche, kR1 aber eine verschwindend kleine Zahl
ist, so können wir in dem Exponenten k2 gegen m2 vernachlässigen und setzen
(19b.) .
Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen (18a.)
und (18b.), welche wir oben für die Function Ψi aufgestellt haben, sie wird
aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung (18c.) entsprechen, daſs,
wenn wir setzen:
,
auch sei:
,
oder, da innerhalb der Oeffnung kr unendlich klein ist, kann man diese Be-
dingung auch darauf reduciren, daſs sein müſste:
.
Wäre diese letztere Bedingung durch besondere Annahmen über die Gröſse
der Coefficienten erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre einfach cylindrisch
sein. Ich habe aber keine Methode finden können, um die Coefficienten dieser
Bedingung gemäſs zu bestimmen und somit die Aufgabe für ganz cylindrische
Röhren streng zu lösen. Auch läſst sich einsehen, daſs die Convergenz der
Reihe für Φ in Gleichung (19.) für diesen Fall eine sehr langsame sein
würde, da die Geschwindigkeit der Lufttheilchen am Rande der Oeffnung,
die durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde, unendlich

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[53/0063] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten der- selben so zu bestimmen, daſs die Grenzbedingungen an dem geschlossenen Ende erfüllt werden. Da übrigens der kleinste Werth von mR1, der die Be- dingung [FORMEL] für ϱ = R1 erfüllt, 3,83171, der zweite 7,01751 ist, während die folgenden sich allmälig der Gröſse (a + ¼) π nähern, so nehmen alle diese Exponentialfunctionen schnell ab, wenn man sich von dem Ende der Röhre entfernt, an welchem sie einen merklichen Werth haben, und so oft die Länge der Röhre beträchtlich groſs gegen den Durchmesser ist, werden sie in der Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachlässigen sein. Es wird also im Allgemeinen genügen, daſs wir uns auf die Glieder beschränken, für welche die Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens mR1 nach dem Gesagten eine endliche, kR1 aber eine verschwindend kleine Zahl ist, so können wir in dem Exponenten k2 gegen m2 vernachlässigen und setzen (19b.) [FORMEL]. Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen (18a.) und (18b.), welche wir oben für die Function Ψi aufgestellt haben, sie wird aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung (18c.) entsprechen, daſs, wenn wir setzen: [FORMEL], auch sei: [FORMEL], oder, da innerhalb der Oeffnung kr unendlich klein ist, kann man diese Be- dingung auch darauf reduciren, daſs sein müſste: [FORMEL]. Wäre diese letztere Bedingung durch besondere Annahmen über die Gröſse der Coefficienten erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre einfach cylindrisch sein. Ich habe aber keine Methode finden können, um die Coefficienten dieser Bedingung gemäſs zu bestimmen und somit die Aufgabe für ganz cylindrische Röhren streng zu lösen. Auch läſst sich einsehen, daſs die Convergenz der Reihe für Φ in Gleichung (19.) für diesen Fall eine sehr langsame sein würde, da die Geschwindigkeit der Lufttheilchen [FORMEL] am Rande der Oeffnung, die durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde, unendlich

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 53. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/63>, abgerufen am 22.12.2024.