Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. worin gesetzt ist:oder in beiden Fällen: Uebrigens ist für sin th, für cos th, wie für k, immer der positive Werth zu nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt. Endlich ergiebt sich kh,, leicht aus den bekannten Sätzen über Potential- An der Scheibe selbst wird s = 0, für sehr kleine Werthe von s und Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. worin gesetzt ist:oder in beiden Fällen: Uebrigens ist für sin ϑ, für cos ϑ, wie für κ͵ immer der positive Werth zu nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt. Endlich ergiebt sich χ͵͵ leicht aus den bekannten Sätzen über Potential- An der Scheibe selbst wird s = 0, für sehr kleine Werthe von s und <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0070" n="60"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren</hi>.</fw><lb/> worin gesetzt ist:<lb/><formula notation="TeX">\chi^2 = \frac{4R\rho}{x^2+(R+\rho)^2}</formula>, <formula notation="TeX">\chi^2_\prime = 1-\chi^2</formula>, <formula notation="TeX">\chi_\prime\sin\theta = \pm\frac{R-\rho}{R+\rho}</formula>,<lb/><formula notation="TeX">K = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}}</formula>, <formula notation="TeX">E = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}d\omega</formula>,<lb/><formula notation="TeX">F'_\theta = \int_0^\theta\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi_\prime^2\sin^2\omega}}</formula>, <formula notation="TeX">E'_\theta = \int_0^\theta\sqrt{1-\chi^2_\prime\sin^2\omega}d\omega</formula>,<lb/><formula notation="TeX">c = \frac{AR^2}{4\rho}</formula>, wenn <formula notation="TeX">\rho > R</formula>,<lb/><formula notation="TeX">c = \frac{A\rho}{4}</formula>, wenn <formula notation="TeX">R > \rho</formula>,<lb/> oder in beiden Fällen:<lb/><formula notation="TeX">c = \frac{AR}{4}\frac{1-\chi_\prime\sin\theta}{1+\chi_\prime\sin\theta}</formula>.<lb/> Uebrigens ist für sin ϑ, für cos ϑ, wie für κ͵ immer der positive Werth zu<lb/> nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt.</p><lb/> <p>Endlich ergiebt sich χ͵͵ leicht aus den bekannten Sätzen über Potential-<lb/> functionen, die durch elliptische Coordinaten ausgedrückt sind. Setzen wir<lb/><formula notation="TeX">x = R\mu s</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\rho = R\sqrt{1-\mu ^2}\sqrt{1+s^2}</formula>,<lb/> so ist die Potentialfunction <hi rendition="#i"><hi rendition="#b">P</hi><hi rendition="#sub">l</hi></hi> einer Scheibe, auf welcher selbst die Potential-<lb/> function constant gleich ½<hi rendition="#b"><hi rendition="#i">B</hi></hi> ist,<lb/><formula notation="TeX">P_l = \frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{1}{s}</formula>.<lb/> Die Linien μ = <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">C</hi></hi> sind confocale Hyperbeln und orthogonal gegen die Linien<lb/><hi rendition="#b"><hi rendition="#i">s = C</hi></hi>, welche confocale Ellipsen sind. Da die letzteren in unserem Falle<lb/> Curven gleichen Potentials sind, sind die Linien μ = <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">C</hi></hi> Strömungscurven, und<lb/> wir brauchen die Gröſse ϱχ͵͵ nur für den Scheitelpunkt derselben in der Scheibe<lb/> zu bestimmen, so muſs sie denselben Werth in der ganzen Länge haben.</p><lb/> <p>An der Scheibe selbst wird <hi rendition="#i">s</hi> = 0, für sehr kleine Werthe von <hi rendition="#i">s</hi> und<lb/> — <hi rendition="#i">x</hi> wird<lb/><formula notation="TeX">\mu = \sqrt{1-\frac{\rho^2}{R2}}</formula>, <formula notation="TeX">s = -\frac{x}{\sqrt{R^2-\rho^2}}</formula>,<lb/><formula notation="TeX">P_l = -\frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{\sqrt{R^2-\rho^2}}{x}</formula>,<lb/><formula notation="TeX">\frac{d\overline{P_l}}{dx} = +\frac{B}{\pi}\frac{1}{\sqrt{R^2-\rho^2}}</formula>,<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [60/0070]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
worin gesetzt ist:
[FORMEL], [FORMEL], [FORMEL],
[FORMEL], [FORMEL],
[FORMEL], [FORMEL],
[FORMEL], wenn [FORMEL],
[FORMEL], wenn [FORMEL],
oder in beiden Fällen:
[FORMEL].
Uebrigens ist für sin ϑ, für cos ϑ, wie für κ͵ immer der positive Werth zu
nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt.
Endlich ergiebt sich χ͵͵ leicht aus den bekannten Sätzen über Potential-
functionen, die durch elliptische Coordinaten ausgedrückt sind. Setzen wir
[FORMEL],
[FORMEL],
so ist die Potentialfunction Pl einer Scheibe, auf welcher selbst die Potential-
function constant gleich ½B ist,
[FORMEL].
Die Linien μ = C sind confocale Hyperbeln und orthogonal gegen die Linien
s = C, welche confocale Ellipsen sind. Da die letzteren in unserem Falle
Curven gleichen Potentials sind, sind die Linien μ = C Strömungscurven, und
wir brauchen die Gröſse ϱχ͵͵ nur für den Scheitelpunkt derselben in der Scheibe
zu bestimmen, so muſs sie denselben Werth in der ganzen Länge haben.
An der Scheibe selbst wird s = 0, für sehr kleine Werthe von s und
— x wird
[FORMEL], [FORMEL],
[FORMEL],
[FORMEL],
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/70 |
| Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 60. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/70>, abgerufen am 22.12.2024. |
