Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. so ist(25b.) Um die Berechnung von kh, abzukürzen, bemerke ich Folgendes. Es sei W eine Potentialfunction, die auf Seite der negativen x der Differentialgleichung genügt: und ferner sei (25c.) so ist (25d.) Nun ist Pi die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten Dichtigkeit (25c.) erfüllen wir, wenn wir W zur Potentialfunction eines soliden Cylinders machen, dessen Basis die kreisförmige Röhrenmündung ist, und der von x = 0 bis x = + infinity reicht und mit Masse von der constanten Dichtigkeit füllt ist. Man braucht sich nur den Cylinder um ein unendlich kleines Stück in der Richtung der positiven x verschoben zu denken und die neue Dichtigkeit so wie die neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen, so erhält man das angegebene Resultat. Die Gleichung (25d.) kann man aber schreiben, weil y = r cos o: (25e.) Es ist aber mit Masse von der Dichtigkeit ergiebt, wenn man den Cylinder in Richtung der negativen y unendlich wenig verschoben denkt. Also lässt sich kh, unmittelbar finden: (26.) Der Werth mit Hülfe elliptischer Integrale ausgedrückt ist folgender: (26a.) 8 *
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. so ist(25b.) Um die Berechnung von χ͵ abzukürzen, bemerke ich Folgendes. Es sei W eine Potentialfunction, die auf Seite der negativen x der Differentialgleichung genügt: und ferner sei (25c.) so ist (25d.) Nun ist Pi die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten Dichtigkeit (25c.) erfüllen wir, wenn wir W zur Potentialfunction eines soliden Cylinders machen, dessen Basis die kreisförmige Röhrenmündung ist, und der von x = 0 bis x = + ∞ reicht und mit Masse von der constanten Dichtigkeit füllt ist. Man braucht sich nur den Cylinder um ein unendlich kleines Stück in der Richtung der positiven x verschoben zu denken und die neue Dichtigkeit so wie die neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen, so erhält man das angegebene Resultat. Die Gleichung (25d.) kann man aber schreiben, weil y = ϱ cos ω: (25e.) Es ist aber mit Masse von der Dichtigkeit ergiebt, wenn man den Cylinder in Richtung der negativen y unendlich wenig verschoben denkt. Also läſst sich χ͵ unmittelbar finden: (26.) Der Werth mit Hülfe elliptischer Integrale ausgedrückt ist folgender: (26a.) 8 *
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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
so ist
(25b.) [FORMEL].
Um die Berechnung von χ͵ abzukürzen, bemerke ich Folgendes. Es sei W
eine Potentialfunction, die auf Seite der negativen x der Differentialgleichung
genügt:
[FORMEL],
und ferner sei
(25c.) [FORMEL],
so ist
(25d.) [FORMEL].
Nun ist Pi die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten Dichtigkeit
[FORMEL] auf einer Kreisscheibe vom Radius R ausgebreitet ist. Die Gleichung
(25c.) erfüllen wir, wenn wir W zur Potentialfunction eines soliden Cylinders
machen, dessen Basis die kreisförmige Röhrenmündung ist, und der von x = 0
bis x = + ∞ reicht und mit Masse von der constanten Dichtigkeit [FORMEL] ge-
füllt ist. Man braucht sich nur den Cylinder um ein unendlich kleines Stück
in der Richtung der positiven x verschoben zu denken und die neue Dichtigkeit
so wie die neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen, so erhält man
das angegebene Resultat. Die Gleichung (25d.) kann man aber schreiben,
weil y = ϱ cos ω:
(25e.) [FORMEL].
Es ist aber [FORMEL] die Potentialfunction der Oberfläche des Cylinders, die
mit Masse von der Dichtigkeit [FORMEL] bedeckt ist, wie sich wieder leicht
ergiebt, wenn man den Cylinder in Richtung der negativen y unendlich wenig
verschoben denkt. Also läſst sich χ͵ unmittelbar finden:
(26.) [FORMEL].
Der Werth mit Hülfe elliptischer Integrale ausgedrückt ist folgender:
(26a.) [FORMEL],
8 *
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