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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer
erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charactere
der ebenen Curven: ihr Geschlecht, die Existenz der
Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in
dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrach-
tungen noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch
erst im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umfor-
mungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt die-
selben, um bekannte Flächen mit unbekannten durch Ab-
bildung in Verbindung zu setzen. --

2. Die Analysis situs.

In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende
gegenüber solchen Umformungen, die aus unendlich kleinen
Verzerrungen durch Zusammensetzung entstehen. Auch
hier muss man, wie bereits gesagt, unterscheiden, ob das
ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der Trans-
formationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm
ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Trans-
formationen der ersten Art sind es, die man einer Raum-
geometrie würde zu Grunde legen können. Ihre Gruppe
wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher betrach-
teten es waren. Indem sie alle Transformationen umfasst,
die sich aus reell gedachten unendlich kleinen Puncttrans-
formationen zusammensetzen, trägt sie die principielle Be-
schränkung auf reelle Raumelemente in sich, und bewegt
sich auf dem Gebiete der willkürlichen Function. Man
kann diese Transformationsgruppe nicht ungeschickt erwei-
tern, indem man sie noch mit den reellen Collineationen,
die auch das unendlich Ferne modificiren, verbindet. --

3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.

Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr
individuelle Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere
durch Transformationen der Gruppe übergeführt werden
kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren Untersuchung
die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der Auf-

weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer
erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charactere
der ebenen Curven: ihr Geschlecht, die Existenz der
Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in
dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrach-
tungen noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch
erst im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umfor-
mungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt die-
selben, um bekannte Flächen mit unbekannten durch Ab-
bildung in Verbindung zu setzen. —

2. Die Analysis situs.

In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende
gegenüber solchen Umformungen, die aus unendlich kleinen
Verzerrungen durch Zusammensetzung entstehen. Auch
hier muss man, wie bereits gesagt, unterscheiden, ob das
ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der Trans-
formationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm
ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Trans-
formationen der ersten Art sind es, die man einer Raum-
geometrie würde zu Grunde legen können. Ihre Gruppe
wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher betrach-
teten es waren. Indem sie alle Transformationen umfasst,
die sich aus reell gedachten unendlich kleinen Puncttrans-
formationen zusammensetzen, trägt sie die principielle Be-
schränkung auf reelle Raumelemente in sich, und bewegt
sich auf dem Gebiete der willkürlichen Function. Man
kann diese Transformationsgruppe nicht ungeschickt erwei-
tern, indem man sie noch mit den reellen Collineationen,
die auch das unendlich Ferne modificiren, verbindet. —

3. Die Gruppe aller Puncttransformationen.

Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr
individuelle Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere
durch Transformationen der Gruppe übergeführt werden
kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren Untersuchung
die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der Auf-

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[30/0038] weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charactere der ebenen Curven: ihr Geschlecht, die Existenz der Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrach- tungen noch nicht. Im Raume ist die ganze Theorie noch erst im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umfor- mungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt die- selben, um bekannte Flächen mit unbekannten durch Ab- bildung in Verbindung zu setzen. — 2. Die Analysis situs. In der sog. Analysis situs sucht man das Bleibende gegenüber solchen Umformungen, die aus unendlich kleinen Verzerrungen durch Zusammensetzung entstehen. Auch hier muss man, wie bereits gesagt, unterscheiden, ob das ganze Gebiet, also etwa der Raum, als Object der Trans- formationen gedacht werden soll, oder nur eine aus ihm ausgesonderte Mannigfaltigkeit, eine Fläche. Die Trans- formationen der ersten Art sind es, die man einer Raum- geometrie würde zu Grunde legen können. Ihre Gruppe wäre wesentlich anders constituirt, als die bisher betrach- teten es waren. Indem sie alle Transformationen umfasst, die sich aus reell gedachten unendlich kleinen Puncttrans- formationen zusammensetzen, trägt sie die principielle Be- schränkung auf reelle Raumelemente in sich, und bewegt sich auf dem Gebiete der willkürlichen Function. Man kann diese Transformationsgruppe nicht ungeschickt erwei- tern, indem man sie noch mit den reellen Collineationen, die auch das unendlich Ferne modificiren, verbindet. — 3. Die Gruppe aller Puncttransformationen. Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der Auf-

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 30. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/38>, abgerufen am 03.12.2024.