Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
halber ein solches Coordinatensystem Sei jetzt
Denn wenn zwischen
Es sei nun ferner Die vier Functionen In der That könnte man aus jeder linearen Relation: So vorwärts schliessend bekommt man endlich halber ein solches Coordinatensystem Sei jetzt
Denn wenn zwischen
Es sei nun ferner Die vier Functionen In der That könnte man aus jeder linearen Relation: So vorwärts schliessend bekommt man endlich <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0049" n="41"/> halber ein solches Coordinatensystem <formula notation="TeX">x, y</formula> auf der Fläche eingeführt (§. 6), dass <formula notation="TeX">u, v</formula> durch die Gleichungen verknüpft sind:</p> <p> <formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] </formula> </p> <p>Sei jetzt <formula notation="TeX">u_1</formula> ein beliebiges überall endliches Potential. Wir bilden das zugehörige <formula notation="TeX">v_1</formula> und haben:</p> <p> <hi rendition="#i"><formula notation="TeX">u_1</formula> und <formula notation="TeX">v_1</formula> sind jedenfalls linear unabhängig.</hi> </p> <p>Denn wenn zwischen <formula notation="TeX">u_1, v_1</formula> eine Gleichung</p> <p><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ a_1 u_1 + b_1 v_1 = \textrm{ Const.} \] </formula><lb/> mit constanten Coëfficienten bestünde, so würde dieselbe die folgenden Relationen begründen:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ a_1 \frac{\partial u_1}{\partial x} + b_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0, \qquad a_1 \frac{\partial u_1}{\partial y} + b_1 \frac{\partial v_1}{\partial y} = 0, \] </formula><lb/> aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \frac{\partial u_1}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial u_1}{\partial y} = 0 \] </formula><lb/> folgen würde.</p> <p>Es sei nun ferner <formula notation="TeX">u_2</formula> von <formula notation="TeX">u_1</formula> und <formula notation="TeX">v_1</formula> linear unabhängig. Dann nehmen wir das zugehörige <formula notation="TeX">v_2</formula> und haben dann den allgemeineren Satz:</p> <p> <hi rendition="#i">Die vier Functionen <formula notation="TeX">u_1, u_2, v_1, v_2</formula> sind ebenfalls linear unabhängig.</hi> </p> <p>In der That könnte man aus jeder linearen Relation:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ a_1 u_1 + a_2 u_2 + b_1 v_1 + b_2 v_2 = \textrm{ Const.} \] </formula><lb/> durch Benutzung der zwischen den <formula notation="TeX">u, v</formula> bestehenden Beziehungen die folgenden Gleichungen ableiten:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \begin{align*} (a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial x} - (a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial x} + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial x} &= 0, \\ (a_1 a_2 + b_1 b_2) \frac{\partial u_1}{\partial y} - (a_1 b_2 - a_2 b_1) \frac{\partial v_1}{\partial y} + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) \frac{\partial u_2}{\partial y} &= 0, \end{align*} </formula><lb/> aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen <formula notation="TeX">u_1, v_1, u_2</formula> folgen würde. —</p> <p>So vorwärts schliessend bekommt man endlich <formula notation="TeX">2p</formula> linear unabhängige Potentiale:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ u_1, v_1; u_2, v_2; \cdots\cdots; u_p, v_p, \] </formula><lb/> wo jedes <hi rendition="#i">v</hi> mit dem gleichbezeichneten <hi rendition="#i">u</hi> zusammengehört. Wir setzen <formula notation="TeX">u_{\alpha} + iv_{\alpha} = w_{\alpha}</formula> und nennen nunmehr überall </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [41/0049]
halber ein solches Coordinatensystem [FORMEL] auf der Fläche eingeführt (§. 6), dass [FORMEL] durch die Gleichungen verknüpft sind:
[FORMEL]
Sei jetzt [FORMEL] ein beliebiges überall endliches Potential. Wir bilden das zugehörige [FORMEL] und haben:
[FORMEL] und [FORMEL] sind jedenfalls linear unabhängig.
Denn wenn zwischen [FORMEL] eine Gleichung
[FORMEL]
mit constanten Coëfficienten bestünde, so würde dieselbe die folgenden Relationen begründen:
[FORMEL]
aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat
[FORMEL]
folgen würde.
Es sei nun ferner [FORMEL] von [FORMEL] und [FORMEL] linear unabhängig. Dann nehmen wir das zugehörige [FORMEL] und haben dann den allgemeineren Satz:
Die vier Functionen [FORMEL] sind ebenfalls linear unabhängig.
In der That könnte man aus jeder linearen Relation:
[FORMEL]
durch Benutzung der zwischen den [FORMEL] bestehenden Beziehungen die folgenden Gleichungen ableiten:
[FORMEL]
aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen [FORMEL] folgen würde. —
So vorwärts schliessend bekommt man endlich [FORMEL] linear unabhängige Potentiale:
[FORMEL]
wo jedes v mit dem gleichbezeichneten u zusammengehört. Wir setzen [FORMEL] und nennen nunmehr überall
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 41. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/49>, abgerufen am 03.12.2024. |
