Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.endliche Functionen linear unabhängig, wenn
zwischen ihnen keinerlei Relation: Die p überall endlichen Functionen Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v. Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche
Function setzt sich aus unseren in der Form
zusammen: In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten bei der linearen Unabhängigkeit der erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist. Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen. Es seien die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen
endliche Functionen linear unabhängig, wenn
zwischen ihnen keinerlei Relation: Die p überall endlichen Functionen Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v. Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche
Function setzt sich aus unseren in der Form
zusammen: In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten bei der linearen Unabhängigkeit der erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist. Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen. Es seien die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0050" n="42"/> endliche Functionen <formula notation="TeX">w_1, w_2, \dots w_{\mu}</formula> linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots c_{\mu}w_{\mu} = C \] </formula><lb/> besteht, unter <formula notation="TeX">c_1, \dots c_{\mu}, C</formula> beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort:</p> <p> <hi rendition="#i">Die <hi rendition="#i">p</hi> überall endlichen Functionen</hi><lb/> <formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ w_1, w_2, \dots w_p \] </formula><lb/> <hi rendition="#i">sind linear unabhängig.</hi> </p> <p>Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den <hi rendition="#i">u</hi> und <hi rendition="#i">v</hi>.</p> <p>Des Weiteren aber folgt: <hi rendition="#i">Jede beliebige überall endliche Function setzt sich aus unseren <formula notation="TeX">w_1, w_2 \dots w_p</formula> in der Form zusammen:</hi><lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \dots c_p w_p + C. \] </formula></p> <p>In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten <formula notation="TeX">c_1, c_2, \dots c_p</formula> bei der linearen Unabhängigkeit der <formula notation="TeX">u_1, \dots u_p, v_1, \dots v_p</formula> erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function <hi rendition="#i">w</hi> an den <formula notation="TeX">2p</formula> Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist.</p> <p>Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu <hi rendition="#i">Functionen mit Unendlichkeitsstellen</hi> ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen.</p> <p>Es seien <formula notation="TeX">\xi_1, \xi_2, \dots \xi_{\mu}</formula> die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct <formula notation="TeX">\eta</formula> einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen</p> <p><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ F_1, F_2, \dots F_{\mu} \] </formula><lb/> construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte <formula notation="TeX">\xi</formula>, und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in <formula notation="TeX">\eta</formula> einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden <formula notation="TeX">\xi</formula> gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ F_1 + F_2 + \dots F_{\mu} \] </formula><lb/> wird dann in <formula notation="TeX">\eta</formula> stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten <formula notation="TeX">\xi</formula> gehörigen Residua ist, wie wir wissen, </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [42/0050]
endliche Functionen [FORMEL] linear unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:
[FORMEL]
besteht, unter [FORMEL] beliebige complexe Constanten verstanden. Dann haben wir sofort:
Die p überall endlichen Functionen
[FORMEL]
sind linear unabhängig.
Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen zwischen den u und v.
Des Weiteren aber folgt: Jede beliebige überall endliche Function setzt sich aus unseren [FORMEL] in der Form zusammen:
[FORMEL]
In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten [FORMEL] bei der linearen Unabhängigkeit der [FORMEL] erreichen, dass eine durch vorstehende Formel definirte Function w an den [FORMEL] Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des reellen Theils aufweist.
Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der Uebergang zu Functionen mit Unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen.
Es seien [FORMEL] die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen Hülfspunct [FORMEL] einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen
[FORMEL]
construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [FORMEL], und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in [FORMEL] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [FORMEL] gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe
[FORMEL]
wird dann in [FORMEL] stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten [FORMEL] gehörigen Residua ist, wie wir wissen,
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