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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der -fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität absorbirt werden. Seien also m Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes bilden: von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen Z setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:

unter beliebige constante Coefficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der aus den Periodicitätsmoduln der linear zusammen. Wir finden also lineare homogene Gleichungen für die Constanten a und c. Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind. Dann kommt der wichtige Satz:

Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, -- und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn m die Gränse überschreitet.

Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der -fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität absorbirt werden. Seien also m Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes bilden: von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen Z setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:

unter beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der aus den Periodicitätsmoduln der linear zusammen. Wir finden also lineare homogene Gleichungen für die Constanten a und c. Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind. Dann kommt der wichtige Satz:

Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, — und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn m die Gränse überschreitet.
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 <formula notation="TeX">\nu</formula> einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht
 vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität
 <formula notation="TeX">(\nu-1)</formula> absorbirt werden. Seien also <hi rendition="#i">m</hi> Puncte als einfache
 algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function
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 bilden: <formula notation="TeX">Z_1, Z_2, \cdots Z_m,</formula> von denen jede nur an einer der
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 aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen <hi rendition="#i">Z</hi> setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes,
 welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten
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   lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, &#x2014; und
 will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes
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[44/0052] Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die [FORMEL] Periodicitätsmoduln an den Querschnitten [FORMEL] sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der [FORMEL]-fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von [FORMEL] einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität [FORMEL] absorbirt werden. Seien also m Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes bilden: [FORMEL] von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen Z setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen: [FORMEL] unter [FORMEL] beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den [FORMEL] Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der [FORMEL] aus den Periodicitätsmoduln der [FORMEL] linear zusammen. Wir finden also [FORMEL] lineare homogene Gleichungen für die [FORMEL] Constanten a und c. Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind . Dann kommt der wichtige Satz: Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt's Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des Abel'schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen Functionen giebt, — und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den [FORMEL] Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn m die Gränse [FORMEL] überschreitet.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 44. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/52>, abgerufen am 24.11.2024.