Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei m beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten
nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn Man denke sich jetzt die m Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten m neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige m Puncte auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht haben: Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit m einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener
Fläche existiren, bildet ein Continuum von Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen
Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf
möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige
Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl m der Unendlichkeitspuncte
unserer Function hat nämlich für letztere
eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, dass
unsere Function Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven
Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei m beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten
nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn Man denke sich jetzt die m Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten m neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige m Puncte auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht haben: Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit m einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener
Fläche existiren, bildet ein Continuum von Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen
Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf
möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige
Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl m der Unendlichkeitspuncte
unserer Function hat nämlich für letztere
eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, dass
unsere Function Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <pb facs="#f0053" n="45"/> <p> <hi rendition="#i">Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei <hi rendition="#i">m</hi> beliebig vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn <formula notation="TeX">m \geqq p + 1</formula> ist, und zwar enthalten diese Functionen <formula notation="TeX">(m - p + 1)</formula> linear vorkommende willkürliche Constante.</hi> </p> <p>Man denke sich jetzt die <hi rendition="#i">m</hi> Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten <hi rendition="#i">m</hi> neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige <hi rendition="#i">m</hi> Puncte auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht haben:</p> <p> <hi rendition="#i">Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit <hi rendition="#i">m</hi> einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener Fläche existiren, bildet ein Continuum von <formula notation="TeX">(2m - p + 1)</formula> Abmessungen.</hi> </p> <p>Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl <hi rendition="#i">m</hi> der Unendlichkeitspuncte unserer Function hat nämlich für letztere eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, <hi rendition="#i">dass unsere Function <formula notation="TeX">u + iv</formula> jeden beliebig vorgegebenen Werth <formula notation="TeX">u_0 + iv_0</formula> genau an <hi rendition="#i">m</hi> Stellen annimmt.</hi></p> <p>Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven <formula notation="TeX">u = u_0, v = v_0</formula> auf unserer Fläche. Nach §. 2 ist klar, dass jede dieser Curven einen Ast durch jeden der <hi rendition="#i">m</hi> Unendlichkeitspuncte hindurchschickt. Andererseits folgt aus Betrachtungen, wie wir sie in §. 10 entwickelten, dass jeder Curvenast mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss. Hiernach ist für sehr grosse <formula notation="TeX">u_0, v_0</formula> die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar klar. Denn die betreffenden Curven <formula notation="TeX">u = u_0, v = v_0</formula> gehen dann in der Nähe des einzelnen Unendlichkeitspunctes nach §. 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [45/0053]
Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei m beliebig vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn [FORMEL] ist, und zwar enthalten diese Functionen [FORMEL] linear vorkommende willkürliche Constante.
Man denke sich jetzt die m Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten m neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige m Puncte auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht haben:
Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit m einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener Fläche existiren, bildet ein Continuum von [FORMEL] Abmessungen.
Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl m der Unendlichkeitspuncte unserer Function hat nämlich für letztere eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, dass unsere Function [FORMEL] jeden beliebig vorgegebenen Werth [FORMEL] genau an m Stellen annimmt.
Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven [FORMEL] auf unserer Fläche. Nach §. 2 ist klar, dass jede dieser Curven einen Ast durch jeden der m Unendlichkeitspuncte hindurchschickt. Andererseits folgt aus Betrachtungen, wie wir sie in §. 10 entwickelten, dass jeder Curvenast mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss. Hiernach ist für sehr grosse [FORMEL] die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar klar. Denn die betreffenden Curven [FORMEL] gehen dann in der Nähe des einzelnen Unendlichkeitspunctes nach §. 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/53 |
| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 45. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/53>, abgerufen am 24.11.2024. |
