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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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Daher wird das Bogenelement:


oder:

wo

gesetzt sein soll.

Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die -Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen, wenn und (in den Formeln (1)) jedes von bis läuft. Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:


Fig. 35.

Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt einfach p geschrieben. -- Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide

Daher wird das Bogenelement:


oder:

wo

gesetzt sein soll.

Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die -Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen, wenn und (in den Formeln (1)) jedes von bis läuft. Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:


Fig. 35.

Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt einfach p geschrieben. — Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide 

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <pb facs="#f0059" n="51"/>
          <p>
            <formula rendition="#c" notation="TeX">
 \begin{gather*}
 \tag{1}
 X = (R - \varrho\cos\alpha) \cos\varphi,\quad
 Y = (R - \varrho\cos\alpha) \sin\varphi,\\
 Z =      \varrho\sin\alpha.
 \end{gather*}
 </formula>
          </p>
          <p>Daher wird das Bogenelement:</p>
          <p><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[\tag{2}
 ds = \sqrt{dX^2 + dY^2 + dZ^2} =
      \sqrt{(R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot d\varphi^2
               + \varrho^2\cdot d\alpha^2}
 \]
 </formula><lb/>
oder:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[\tag{3}
 ds = (R - \varrho\cos\alpha)^2\cdot
           \sqrt{d\xi^2 + d\eta^2},
 \]
 </formula><lb/>
wo<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[\tag{4}
 \xi = \varphi,\quad
 \eta = \int_0^\alpha
        \frac{\varrho\, d\alpha}
             {R - \varrho\cos\alpha}
 \]
 </formula><lb/>
gesetzt sein soll.</p>
          <p>Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung
 der Ringfläche auf die <formula notation="TeX">\xi\eta</formula>-Ebene. Die ganze Ringfläche wird
 offenbar einmal überstrichen, wenn <formula notation="TeX">\varphi</formula> und <formula notation="TeX">\alpha</formula> (in den Formeln (1))
 jedes von <formula notation="TeX">- \pi</formula> bis <formula notation="TeX">+ \pi</formula> läuft. <hi rendition="#i">Die conforme Abbildung der
 Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es
 durch folgende Figur vorgestellt wird:</hi></p>
          <figure rendition="#c" facs="http://media.dwds.de/dta/images/klein_riemann_1882/figures/image35.png">
            <head>Fig. 35.</head><lb/>
          </figure>
          <p>Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt
   <formula notation="TeX">\displaystyle\int_0^\pi\frac{\varrho\, d\alpha}{R - \varrho\cos\alpha}</formula> einfach <hi rendition="#i">p</hi> geschrieben. &#x2014; Wollen wir uns die
 Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich
 vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem
 Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten
 des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch,
 man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide
</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[51/0059] [FORMEL] Daher wird das Bogenelement: [FORMEL] oder: [FORMEL] wo [FORMEL] gesetzt sein soll. Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die [FORMEL]-Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen, wenn [FORMEL] und [FORMEL] (in den Formeln (1)) jedes von [FORMEL] bis [FORMEL] läuft. Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird: [Abbildung Fig. 35. ] Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt [FORMEL] einfach p geschrieben. — Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 51. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/59>, abgerufen am 25.11.2024.