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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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Flächen mit w Verzweigungspuncten ein Continuum bildet, wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit m Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen p ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit.

Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze:

1. Jede Gleichung kann mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann'schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat. -- Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionen z, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen von z, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss, lineare Functionen von z. Umgekehrt ist auch jede lineare Function von z eine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Puncte z der Riemann'schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet:

unter beliebige Constante verstanden.

2) Jede Gleichung kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche Integral W und insbesondere

Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.

Flächen mit w Verzweigungspuncten ein Continuum bildet, wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit m Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen p ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit.

Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze:

1. Jede Gleichung kann mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann'schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat. — Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionen z, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen von z, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss, lineare Functionen von z. Umgekehrt ist auch jede lineare Function von z eine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Puncte z der Riemann'schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet:

unter beliebige Constante verstanden.

2) Jede Gleichung kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche Integral W und insbesondere

Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.
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 bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir
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 Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem
 Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von
 denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche
 in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen
 hat. &#x2014; Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine
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 da das Verhältniss umkehrbar sein muss, <hi rendition="#i">lineare</hi> Functionen
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[66/0074] Flächen mit w Verzweigungspuncten ein Continuum bildet , wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit m Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen p ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit. Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [FORMEL] zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze: 1. Jede Gleichung [FORMEL] kann [FORMEL] mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann'schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat. — Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionen z, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen von z, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss, lineare Functionen von z. Umgekehrt ist auch jede lineare Function von z eine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Puncte z der Riemann'schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet: [FORMEL] unter [FORMEL] beliebige Constante verstanden. 2) Jede Gleichung [FORMEL] kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche Integral W und insbesondere Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 66. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/74>, abgerufen am 26.11.2024.