Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen
Riemann'schen Fläche in der Ebene W entworfen wird.
Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan
(§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen
Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen
handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen
ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat
ist, dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein
Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört, während
sich die unendlich vielen Werthe von W, die demselben Punkte
der Riemann'schen Fläche entsprechen, aus einem derselben
in der Form zusammensetzen: 3) Gleichungen Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von Schwarz Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an. Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen,
also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen
Parametern gedacht. Ob eine Fläche
die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen
Riemann'schen Fläche in der Ebene W entworfen wird.
Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan
(§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen
Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen
handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen
ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat
ist, dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein
Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört, während
sich die unendlich vielen Werthe von W, die demselben Punkte
der Riemann'schen Fläche entsprechen, aus einem derselben
in der Form zusammensetzen: 3) Gleichungen Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von Schwarz Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an. Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen,
also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen
Parametern gedacht. Ob eine Fläche
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0075" n="67"/> die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann'schen Fläche in der Ebene <hi rendition="#i">W</hi> entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von <hi rendition="#i">W ein</hi> Punct und nur ein Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe von <hi rendition="#i">W</hi>, die demselben Punkte der Riemann'schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: <formula notation="TeX">W + m_1\omega_1 + m_2\omega_2</formula>, unter <formula notation="TeX">m_1</formula>, <formula notation="TeX">m_2</formula> beliebige ganze Zahlen, unter <formula notation="TeX">\omega_1</formula>, <formula notation="TeX">\omega_2</formula> die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte <hi rendition="#i">W</hi> ein Punct <formula notation="TeX">W_1</formula> in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von <hi rendition="#i">W</hi> um Perioden eine solche von <formula notation="TeX">W_1</formula> entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ W_1 = \pm W + C \] </formula><lb/> setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss <formula notation="TeX">\frac{\omega_1}{\omega_2}</formula> bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann <formula notation="TeX">W_1</formula> auch gleich <formula notation="TeX">\pm i W + C</formula>, oder <formula notation="TeX">\pm\varrho W + C</formula> gesetzt werden (unter <formula notation="TeX">\varrho</formula> eine dritte Einheitswurzel verstanden)<note place="foot"><p>Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.</p></note>. Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.</p> <p>3) <hi rendition="#i">Gleichungen <formula notation="TeX">p>1</formula> können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden.<note place="foot"><p>Es ist bei diesem Satze an eine <hi rendition="#i">continuirliche</hi> Schaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche <formula notation="TeX">p > 1</formula> unter Umständen nicht durch unendlich viele <hi rendition="#i">discrete</hi> Transformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem <hi rendition="#i">p</hi> in der That auch unmöglich.</p></note></hi></p> <p>Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von <hi rendition="#g">Schwarz</hi> </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [67/0075]
die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann'schen Fläche in der Ebene W entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein Punct der betreffenden Riemann'schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe von W, die demselben Punkte der Riemann'schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: [FORMEL], unter [FORMEL], [FORMEL] beliebige ganze Zahlen, unter [FORMEL], [FORMEL] die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte W ein Punct [FORMEL] in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von W um Perioden eine solche von [FORMEL] entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man
[FORMEL]
setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss [FORMEL] bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [FORMEL] auch gleich [FORMEL], oder [FORMEL] gesetzt werden (unter [FORMEL] eine dritte Einheitswurzel verstanden) . Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.
3) Gleichungen [FORMEL] können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden.
Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von Schwarz
Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.
Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche [FORMEL] unter Umständen nicht durch unendlich viele discrete Transformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem p in der That auch unmöglich.
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 67. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/75>, abgerufen am 26.11.2024. |
