Littrow, Joseph Johann von: Die Wunder des Himmels, oder gemeinfaßliche Darstellung des Weltsystems. Bd. 3. Stuttgart, 1836.

§. 62. (Hyperbeln.) Tritt nun die schneidende Linie MN
noch weiter, oder auf die andere, untere Seite der fixen Linie
MO, d. h. fällt MN zwischen die Schenkel OM und MD des
Winkels OMD, so bleibt die durch den Schnitt entstehende Linie,
wie man sieht, auf der dem Punkte M gegenüberstehenden Seite
offen, indem sie da, wie zuvor bei der Parabel, in zwei gleiche
und unendliche Aeste ausläuft. Allein sie ist demungeachtet sehr
von der Parabel verschieden. -- Verlängert man nämlich die
Seiten BA und DA des Kegels über dem Punkte A, und stellt
man dadurch in der Zeichnung den oben erwähnten Doppel-
kegel her, so sieht man, daß die schneidende Linie MN, wenn
sie in den Winkel OMD fällt, nicht nur den unteren, sondern
daß sie auch den oberen Kegel trifft, daß also die Ebene des
Schnitts in diesem Falle durch beide Kegel geht, was nicht ge-
schehen kann, so lange die schneidende Linie MN in dem Winkel
AMO oder über der fixen Linie MO liegt. Die hier entstehende
krumme Linie besteht also aus zwei von einander abgesonderten,
ähnlichen Theilen, welche ihre Scheitel einander zukehren, und
von welchen jede auf der ihren Scheitel gegenüberstehenden Seite
mit zwei gleichen Aesten in's Unendliche ausläuft. Diese krumme
Linie mit vier unendlichen Aesten heißt Hyperbel.

So lange also die schneidende Linie MN über der fixen Linie
MO, oder in dem Winkel AMO liegt, entstehen Ellipsen; fällt
die schneidende Linie in die fixe, so entsteht die Parabel, und liegt
endlich die schneidende Linie unter der fixen, oder in dem Winkel
OMD, so entstehen Hyperbeln. Die Parabel ist demnach die
Gränze, welche die Ellipsen von den Hyperbeln trennt, so wie
auch der Kreis die Gränze von denjenigen Ellipsen ist, die über
und unter ihm liegen, und deren Excentricität immer größer
wird, je weiter sie sich von diesem Kreise, zu den beiden Seiten
desselben, entfernen. Für jeden Punkt M des Kegels, wo der Schnitt
anfangen soll, gibt es, wie man sieht, nur eine einzige Lage der
schneidenden Ebene, die den Schnitt zur Parabel macht, so wie
auch nur eine einzige andere Lage den Kreis erzeugt; für die
Ellipse und die Hyperbel aber gibt es unendlich viele Lagen, und
es ist genug, daß die schneidende Ebene nur überhaupt über oder

§. 62. (Hyperbeln.) Tritt nun die ſchneidende Linie MN
noch weiter, oder auf die andere, untere Seite der fixen Linie
MO, d. h. fällt MN zwiſchen die Schenkel OM und MD des
Winkels OMD, ſo bleibt die durch den Schnitt entſtehende Linie,
wie man ſieht, auf der dem Punkte M gegenüberſtehenden Seite
offen, indem ſie da, wie zuvor bei der Parabel, in zwei gleiche
und unendliche Aeſte ausläuft. Allein ſie iſt demungeachtet ſehr
von der Parabel verſchieden. — Verlängert man nämlich die
Seiten BA und DA des Kegels über dem Punkte A, und ſtellt
man dadurch in der Zeichnung den oben erwähnten Doppel-
kegel her, ſo ſieht man, daß die ſchneidende Linie MN, wenn
ſie in den Winkel OMD fällt, nicht nur den unteren, ſondern
daß ſie auch den oberen Kegel trifft, daß alſo die Ebene des
Schnitts in dieſem Falle durch beide Kegel geht, was nicht ge-
ſchehen kann, ſo lange die ſchneidende Linie MN in dem Winkel
AMO oder über der fixen Linie MO liegt. Die hier entſtehende
krumme Linie beſteht alſo aus zwei von einander abgeſonderten,
ähnlichen Theilen, welche ihre Scheitel einander zukehren, und
von welchen jede auf der ihren Scheitel gegenüberſtehenden Seite
mit zwei gleichen Aeſten in’s Unendliche ausläuft. Dieſe krumme
Linie mit vier unendlichen Aeſten heißt Hyperbel.

So lange alſo die ſchneidende Linie MN über der fixen Linie
MO, oder in dem Winkel AMO liegt, entſtehen Ellipſen; fällt
die ſchneidende Linie in die fixe, ſo entſteht die Parabel, und liegt
endlich die ſchneidende Linie unter der fixen, oder in dem Winkel
OMD, ſo entſtehen Hyperbeln. Die Parabel iſt demnach die
Gränze, welche die Ellipſen von den Hyperbeln trennt, ſo wie
auch der Kreis die Gränze von denjenigen Ellipſen iſt, die über
und unter ihm liegen, und deren Excentricität immer größer
wird, je weiter ſie ſich von dieſem Kreiſe, zu den beiden Seiten
deſſelben, entfernen. Für jeden Punkt M des Kegels, wo der Schnitt
anfangen ſoll, gibt es, wie man ſieht, nur eine einzige Lage der
ſchneidenden Ebene, die den Schnitt zur Parabel macht, ſo wie
auch nur eine einzige andere Lage den Kreis erzeugt; für die
Ellipſe und die Hyperbel aber gibt es unendlich viele Lagen, und
es iſt genug, daß die ſchneidende Ebene nur überhaupt über oder