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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.

[Spaltenumbruch]
Stützen in einer Horizontalen liegen, und daß nur der Punkt
A (Fig. 48 Blatt 400) in der nten Oeffnung, dessen Entfer-
nung von der nten Stütze gleich x ist, mit einem Gewicht P
belastet sei. Die Belastungsfläche der elastischen Linie hat die
Form W Bn U C V Bn+1 Z. Bekannt ist die Ordinate
[Formel 1] unbekannt die Lage der Geraden W Z. Diese Lage ergiebt
sich durch eine ganz ähnliche Beziehung wie jene, welche an-
gewandt wurde, um die in Fig. 40) dargestellte Aufgabe zu
lösen. Zu dem Zweck wird vorausgesetzt, daß die Lage der
Fixpunkte Nn und On durch eine Hülfsconstruction nach Art
der Fig. 32) und 33) bestimmt und für die vorliegende Auf-
gabe sonach gegeben sei. Entfernt man die Belastung P und
bringt man dafür rechts von der Stütze Bn+1 also z. B. in
der n + 2ten Oeffnung eine so große Belastung an, daß das
Biegungsmoment Mn dieselbe Größe erhält, wie in Fig. 48,
so werden auch alle übrigen Biegungsmomente links von der
Stütze Bn dieselbe Größe behalten, wie in dem von Fig. 48
dargestellten Belastungsfalle. Dagegen werden die Biegungs-
momente in der nten Oeffnung durch die Flächen
[Formel 2] dargestellt, weil der Wendepunkt der Biegungscurve in dem
Punkte Nn liegt, wenn nur rechts von Bn+1 Belastungen auf
den Träger einwirken. In beiden Belastungsfällen erfordert
die Continuität der mit der elastischen Linie übereinstimmenden
Seilcurve, daß der Auflagerdruck der Belastungsfläche der
n--1sten und nten Oeffnung auf die nte Stütze gleich Null sei,
oder, da die Belastungsfläche der n--1sten Oeffnung in beiden
Fällen dieselbe ist, daß die Drücke auf die nte Stütze, welche
von der Belastungsfläche
[Formel 3] und von der Fläche
[Formel 4] ausgeübt werden, einander gleich seien. Hieraus folgt, daß
die Momente der beiden Dreiecke
[Formel 5] in Bezug auf die Achse M Bn+1 gleich groß sein müssen.
Der Schwerpunkt des Dreiecks Bn C Bn+1 ist der Punkt S
und der Schwerpunkt des Dreiecks Bn M Bn+1 liegt in der
Ordinate des Punktes E, 1/3 ln von dem Auflager Bn+1
entfernt. Es ist demnach
[Formel 6] oder
[Formel 7]

Der Linienzug C H K M ergiebt sonach die Lage des
Punktes M, wodurch ein Punkt R der unbekannten Geraden
W Z bestimmt ist. Den zweiten Punkt T erhält man durch
eine analoge Construction, indem man den Druck der Bela-
[Spaltenumbruch]
stungsflächen auf die Stütze Bn+1 in Betracht zieht. Man
findet, daß der Linienzug C G J L den Punkt L und die
Gerade L Bn+1 den zweiten unbekannten Punkt T ergiebt.

Die abscheerende Verticalkraft ist gleich der ersten
Abgeleiteten
[Formel 8] derjenigen Function, welche die Beziehung zwischen dem Bie-
gungsmoment M und der horizontalen Abscisse x ausdrückt.
Aus Fig. 48) ersieht man, daß der constante Werth von [Formel 9]
auf der Strecke A Bn zu demjenigen auf der Strecke A Bn+1
sich verhält wie
[Formel 10]

Trägt man also in Fig. 49) die Belastung P des Punktes
A nach irgend einem Maaßstabe gleich den Längen P = U D
= C V auf, so ist Bn H F A E G Bn+1 die graphische Dar-
stellung der abscheerenden Kräfte.

Die Fig. 50 Blatt 399 enthält die Construction der Fig. 48
für sieben Punkte, welche die Länge ln der Oeffnung in sechs
gleiche Theile eintheilen. Die Buchstaben haben in beiden Fi-
guren gleiche Bedeutung, nur ist in Fig. 50) jedem Buchstaben
die Ziffer angefügt, welche dem belasteten Punkt A entspricht.
Zur Vereinfachung der Construction ist in Fig. 50) angenom-
men, daß die von den Ordinaten A C gemessenen positiven
Momente sämmtlich gleich groß seien. Die Wendepunkte U
und V beschreiben unter dieser Annahme die punktirten Hy-
perbeln und die Linie W Z dreht sich um den festen Punkt
P. Nimmt man dagegen an, daß ein constantes Gewicht P
über die Oeffnung sich bewegt, so ist das von der Ordinate
A C gemessene positive Moment gleich
[Formel 11] wenn x die horizontale Entfernung der Belastung P von der
Stütze Bn bezeichnet. Der Punkt C beschreibt alsdann die
in Fig. 51) punktirte Parabel. Die Abscissen der Wende-
punkte U und V bleiben dieselben wie in Fig. 50) und dadurch
ist die Lage der Linien W Z in Fig. 51) bestimmt. Eine
bessere Uebersicht über die Biegungsmomente erhält man, wenn
man nach Fig. 51) die Beziehungen, welche zwischen den Bie-
gungsmomenten in den Punkten A0, A1, A2 ...... und
der Abscisse x der Belastung P stattfinden, in einer besonderen
Figur (Fig. 52) graphisch darstellt. Die Ordinate der Curve
Bn 2 2 Bn+1 ergiebt also z. B. das Biegungsmoment im Punkte
A2, wenn die Belastung P in der das Biegungsmoment dar-
stellenden Ordinate wirkt. Die Ordinaten dieser Curve in
den Theilpunkten 1, 2, 3, 4, 5 müssen offenbar gleich den
fünf in Fig. 51) auf der Ordinate A2 C2 dargestellten Bie-
gungsmomenten aufgetragen werden.

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
Stützen in einer Horizontalen liegen, und daß nur der Punkt
A (Fig. 48 Blatt 400) in der nten Oeffnung, deſſen Entfer-
nung von der nten Stütze gleich x iſt, mit einem Gewicht P
belaſtet ſei. Die Belaſtungsfläche der elaſtiſchen Linie hat die
Form W Bn U C V Bn+1 Z. Bekannt iſt die Ordinate
[Formel 1] unbekannt die Lage der Geraden W Z. Dieſe Lage ergiebt
ſich durch eine ganz ähnliche Beziehung wie jene, welche an-
gewandt wurde, um die in Fig. 40) dargeſtellte Aufgabe zu
löſen. Zu dem Zweck wird vorausgeſetzt, daß die Lage der
Fixpunkte Nn und On durch eine Hülfsconſtruction nach Art
der Fig. 32) und 33) beſtimmt und für die vorliegende Auf-
gabe ſonach gegeben ſei. Entfernt man die Belaſtung P und
bringt man dafür rechts von der Stütze Bn+1 alſo z. B. in
der n + 2ten Oeffnung eine ſo große Belaſtung an, daß das
Biegungsmoment Mn dieſelbe Größe erhält, wie in Fig. 48,
ſo werden auch alle übrigen Biegungsmomente links von der
Stütze Bn dieſelbe Größe behalten, wie in dem von Fig. 48
dargeſtellten Belaſtungsfalle. Dagegen werden die Biegungs-
momente in der nten Oeffnung durch die Flächen
[Formel 2] dargeſtellt, weil der Wendepunkt der Biegungscurve in dem
Punkte Nn liegt, wenn nur rechts von Bn+1 Belaſtungen auf
den Träger einwirken. In beiden Belaſtungsfällen erfordert
die Continuität der mit der elaſtiſchen Linie übereinſtimmenden
Seilcurve, daß der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der
n—1ſten und nten Oeffnung auf die nte Stütze gleich Null ſei,
oder, da die Belaſtungsfläche der n—1ſten Oeffnung in beiden
Fällen dieſelbe iſt, daß die Drücke auf die nte Stütze, welche
von der Belaſtungsfläche
[Formel 3] und von der Fläche
[Formel 4] ausgeübt werden, einander gleich ſeien. Hieraus folgt, daß
die Momente der beiden Dreiecke
[Formel 5] in Bezug auf die Achſe M Bn+1 gleich groß ſein müſſen.
Der Schwerpunkt des Dreiecks Bn C Bn+1 iſt der Punkt S
und der Schwerpunkt des Dreiecks Bn M Bn+1 liegt in der
Ordinate des Punktes E, ⅓ ln von dem Auflager Bn+1
entfernt. Es iſt demnach
[Formel 6] oder
[Formel 7]

Der Linienzug C H K M ergiebt ſonach die Lage des
Punktes M, wodurch ein Punkt R der unbekannten Geraden
W Z beſtimmt iſt. Den zweiten Punkt T erhält man durch
eine analoge Conſtruction, indem man den Druck der Bela-
[Spaltenumbruch]
ſtungsflächen auf die Stütze Bn+1 in Betracht zieht. Man
findet, daß der Linienzug C G J L den Punkt L und die
Gerade L Bn+1 den zweiten unbekannten Punkt T ergiebt.

Die abſcheerende Verticalkraft iſt gleich der erſten
Abgeleiteten
[Formel 8] derjenigen Function, welche die Beziehung zwiſchen dem Bie-
gungsmoment M und der horizontalen Abſciſſe x ausdrückt.
Aus Fig. 48) erſieht man, daß der conſtante Werth von [Formel 9]
auf der Strecke A Bn zu demjenigen auf der Strecke A Bn+1
ſich verhält wie
[Formel 10]

Trägt man alſo in Fig. 49) die Belaſtung P des Punktes
A nach irgend einem Maaßſtabe gleich den Längen P = U D
= C V auf, ſo iſt Bn H F A E G Bn+1 die graphiſche Dar-
ſtellung der abſcheerenden Kräfte.

Die Fig. 50 Blatt 399 enthält die Conſtruction der Fig. 48
für ſieben Punkte, welche die Länge ln der Oeffnung in ſechs
gleiche Theile eintheilen. Die Buchſtaben haben in beiden Fi-
guren gleiche Bedeutung, nur iſt in Fig. 50) jedem Buchſtaben
die Ziffer angefügt, welche dem belaſteten Punkt A entſpricht.
Zur Vereinfachung der Conſtruction iſt in Fig. 50) angenom-
men, daß die von den Ordinaten A C gemeſſenen poſitiven
Momente ſämmtlich gleich groß ſeien. Die Wendepunkte U
und V beſchreiben unter dieſer Annahme die punktirten Hy-
perbeln und die Linie W Z dreht ſich um den feſten Punkt
P. Nimmt man dagegen an, daß ein conſtantes Gewicht P
über die Oeffnung ſich bewegt, ſo iſt das von der Ordinate
A C gemeſſene poſitive Moment gleich
[Formel 11] wenn x die horizontale Entfernung der Belaſtung P von der
Stütze Bn bezeichnet. Der Punkt C beſchreibt alsdann die
in Fig. 51) punktirte Parabel. Die Abſciſſen der Wende-
punkte U und V bleiben dieſelben wie in Fig. 50) und dadurch
iſt die Lage der Linien W Z in Fig. 51) beſtimmt. Eine
beſſere Ueberſicht über die Biegungsmomente erhält man, wenn
man nach Fig. 51) die Beziehungen, welche zwiſchen den Bie-
gungsmomenten in den Punkten A0, A1, A2 ...... und
der Abſciſſe x der Belaſtung P ſtattfinden, in einer beſonderen
Figur (Fig. 52) graphiſch darſtellt. Die Ordinate der Curve
Bn 2 2 Bn+1 ergiebt alſo z. B. das Biegungsmoment im Punkte
A2, wenn die Belaſtung P in der das Biegungsmoment dar-
ſtellenden Ordinate wirkt. Die Ordinaten dieſer Curve in
den Theilpunkten 1, 2, 3, 4, 5 müſſen offenbar gleich den
fünf in Fig. 51) auf der Ordinate A2 C2 dargeſtellten Bie-
gungsmomenten aufgetragen werden.

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[[13]/0024] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. Stützen in einer Horizontalen liegen, und daß nur der Punkt A (Fig. 48 Blatt 400) in der nten Oeffnung, deſſen Entfer- nung von der nten Stütze gleich x iſt, mit einem Gewicht P belaſtet ſei. Die Belaſtungsfläche der elaſtiſchen Linie hat die Form W Bn U C V Bn+1 Z. Bekannt iſt die Ordinate [FORMEL] unbekannt die Lage der Geraden W Z. Dieſe Lage ergiebt ſich durch eine ganz ähnliche Beziehung wie jene, welche an- gewandt wurde, um die in Fig. 40) dargeſtellte Aufgabe zu löſen. Zu dem Zweck wird vorausgeſetzt, daß die Lage der Fixpunkte Nn und On durch eine Hülfsconſtruction nach Art der Fig. 32) und 33) beſtimmt und für die vorliegende Auf- gabe ſonach gegeben ſei. Entfernt man die Belaſtung P und bringt man dafür rechts von der Stütze Bn+1 alſo z. B. in der n + 2ten Oeffnung eine ſo große Belaſtung an, daß das Biegungsmoment Mn dieſelbe Größe erhält, wie in Fig. 48, ſo werden auch alle übrigen Biegungsmomente links von der Stütze Bn dieſelbe Größe behalten, wie in dem von Fig. 48 dargeſtellten Belaſtungsfalle. Dagegen werden die Biegungs- momente in der nten Oeffnung durch die Flächen [FORMEL] dargeſtellt, weil der Wendepunkt der Biegungscurve in dem Punkte Nn liegt, wenn nur rechts von Bn+1 Belaſtungen auf den Träger einwirken. In beiden Belaſtungsfällen erfordert die Continuität der mit der elaſtiſchen Linie übereinſtimmenden Seilcurve, daß der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der n—1ſten und nten Oeffnung auf die nte Stütze gleich Null ſei, oder, da die Belaſtungsfläche der n—1ſten Oeffnung in beiden Fällen dieſelbe iſt, daß die Drücke auf die nte Stütze, welche von der Belaſtungsfläche [FORMEL] und von der Fläche [FORMEL] ausgeübt werden, einander gleich ſeien. Hieraus folgt, daß die Momente der beiden Dreiecke [FORMEL] in Bezug auf die Achſe M Bn+1 gleich groß ſein müſſen. Der Schwerpunkt des Dreiecks Bn C Bn+1 iſt der Punkt S und der Schwerpunkt des Dreiecks Bn M Bn+1 liegt in der Ordinate des Punktes E, ⅓ ln von dem Auflager Bn+1 entfernt. Es iſt demnach [FORMEL] oder [FORMEL] Der Linienzug C H K M ergiebt ſonach die Lage des Punktes M, wodurch ein Punkt R der unbekannten Geraden W Z beſtimmt iſt. Den zweiten Punkt T erhält man durch eine analoge Conſtruction, indem man den Druck der Bela- ſtungsflächen auf die Stütze Bn+1 in Betracht zieht. Man findet, daß der Linienzug C G J L den Punkt L und die Gerade L Bn+1 den zweiten unbekannten Punkt T ergiebt. Die abſcheerende Verticalkraft iſt gleich der erſten Abgeleiteten [FORMEL] derjenigen Function, welche die Beziehung zwiſchen dem Bie- gungsmoment M und der horizontalen Abſciſſe x ausdrückt. Aus Fig. 48) erſieht man, daß der conſtante Werth von [FORMEL] auf der Strecke A Bn zu demjenigen auf der Strecke A Bn+1 ſich verhält wie [FORMEL] Trägt man alſo in Fig. 49) die Belaſtung P des Punktes A nach irgend einem Maaßſtabe gleich den Längen P = U D = C V auf, ſo iſt Bn H F A E G Bn+1 die graphiſche Dar- ſtellung der abſcheerenden Kräfte. Die Fig. 50 Blatt 399 enthält die Conſtruction der Fig. 48 für ſieben Punkte, welche die Länge ln der Oeffnung in ſechs gleiche Theile eintheilen. Die Buchſtaben haben in beiden Fi- guren gleiche Bedeutung, nur iſt in Fig. 50) jedem Buchſtaben die Ziffer angefügt, welche dem belaſteten Punkt A entſpricht. Zur Vereinfachung der Conſtruction iſt in Fig. 50) angenom- men, daß die von den Ordinaten A C gemeſſenen poſitiven Momente ſämmtlich gleich groß ſeien. Die Wendepunkte U und V beſchreiben unter dieſer Annahme die punktirten Hy- perbeln und die Linie W Z dreht ſich um den feſten Punkt P. Nimmt man dagegen an, daß ein conſtantes Gewicht P über die Oeffnung ſich bewegt, ſo iſt das von der Ordinate A C gemeſſene poſitive Moment gleich [FORMEL] wenn x die horizontale Entfernung der Belaſtung P von der Stütze Bn bezeichnet. Der Punkt C beſchreibt alsdann die in Fig. 51) punktirte Parabel. Die Abſciſſen der Wende- punkte U und V bleiben dieſelben wie in Fig. 50) und dadurch iſt die Lage der Linien W Z in Fig. 51) beſtimmt. Eine beſſere Ueberſicht über die Biegungsmomente erhält man, wenn man nach Fig. 51) die Beziehungen, welche zwiſchen den Bie- gungsmomenten in den Punkten A0, A1, A2 ...... und der Abſciſſe x der Belaſtung P ſtattfinden, in einer beſonderen Figur (Fig. 52) graphiſch darſtellt. Die Ordinate der Curve Bn 2 2 Bn+1 ergiebt alſo z. B. das Biegungsmoment im Punkte A2, wenn die Belaſtung P in der das Biegungsmoment dar- ſtellenden Ordinate wirkt. Die Ordinaten dieſer Curve in den Theilpunkten 1, 2, 3, 4, 5 müſſen offenbar gleich den fünf in Fig. 51) auf der Ordinate A2 C2 dargeſtellten Bie- gungsmomenten aufgetragen werden.

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Zitationshilfe:	Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [13]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/24>, abgerufen am 23.11.2024.

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