Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Von besonderem Interesse sind die Curven Bn O O·Bn+1
und Bn 6 6 ..... Bn+1, welche die beiden Biegungs-
momente Mn und Mn+1 graphisch darstellen, weil diese Cur-
ven ausreichen, um für jede Lage der Last P die Darstellung
der Biegungsmomente auszuführen. In Fig. 48) ist
[Formel 1]

Aus den letzten zwei Gleichungen folgt
36) [Formel 2]
37) [Formel 3] .
Hieraus ergiebt sich für jene zwei Curven folgende einfache
Construction. In Fig. 66) Blatt 400 ist die Ordinate der punk-
tirten Parabel Bn C Bn+1 gleich
[Formel 4] und
[Formel 5] .
Die Parabelordinaten sind in horizontaler Richtung auf die
Linie E G projicirt, und durch die Fußpunkte der projiciren-
den Linien sind Strahlen nach dem Punkte J gezogen. Die
Schnittpunkte dieser Strahlen mit den entsprechenden Parabel-
ordinaten sind Punkte der Curven für Mn.

In ganz ähnlicher Weise ergiebt sich nach Fig. 67) die
Curve für Mn+1, indem man die Ordinaten der Parabel
Bn D Bn+1 gleich
[Formel 6] aufträgt.

Das Maximum von Mn tritt ein, wenn
38) [Formel 7]
und dasjenige von Mn+1, wenn
39) [Formel 8]
ist; in diesen beiden Punkten erzeugt also eine Einzellast das
größtmögliche Biegungsmoment über der nten und n+1sten
Stütze. Jene Werthe von x lassen sich leichter auf graphi-
schem Wege als durch Rechnung bestimmen.

In Fig. 68) ist
[Formel 9] D und E sind, wie man sich leicht überzeugt, die beiden ge-
suchten Punkte.

Als eine merkwürdige Beziehung ist noch zu erwähnen,
daß die in Rede stehenden beiden Curven die Biegungscurven
der nten Oeffnung für die beiden Fälle sind, in welchen nur
links oder nur rechts von der nten Oeffnung Belastungen auf
den Träger einwirken. Man überzeugt sich hiervon, wenn
man die zweiten Abgeleiteten der Gleichungen 36) und 37) bil-
det und diese mit den Gleichungen der Biegungsmomente für
jene Belastungsfälle vergleicht. Die zweite Abgeleitete der
Gleichung 36) ist
[Formel 10] und die Gleichung der Biegungsmomente der unbelasteten nten
Oeffnung
[Formel 11]

Wenn der Träger nur links von der nten Oeffnung be-
lastet ist, so ist
und daher
[Formel 12]

Bezeichnet man die Ordinate der Curve Bn O O .. Bn+1
mit y, so ist also
[Formel 13] d. h. jene Curve ist die Biegungscurve für den oben bezeich-
neten Belastungsfall. Ebenso findet man, daß die Curve
Bn 6 6 Bn+1 die Biegungscurve darstellt, wenn der Träger
nur rechts von der nten Oeffnung belastet ist.

Aus den Fig. 50--52 ist ohne Weiteres zu ersehen:

1) die Wendepunkte U und V der von einer Einzellast
erzeugten Biegungscurve liegen nie zwischen den beiden
Fixpunkten Nn und On, sondern immer zwischen diesen
Punkten und den Stützpunkten;

2) jede Belastung der nten Oeffnung erzeugt daher in
jedem Punkt der Strecke Nn On ein positives Biegungs-
moment und die ganze Länge der Oeffnung muß von
der größtmöglichen Belastung bedeckt sein, um in diesen
Punkten das Maximalbiegungsmoment hervorzurufen;

3) in den Punkten der beiden Strecken Bn Nn und On Bn+1
kommen positive und negative Biegungsmomente vor.
Man findet mit Hülfe der Curven U und V (Fig. 50)

Von beſonderem Intereſſe ſind die Curven Bn O O·Bn+1
und Bn 6 6 ..... Bn+1, welche die beiden Biegungs-
momente Mn und Mn+1 graphiſch darſtellen, weil dieſe Cur-
ven ausreichen, um für jede Lage der Laſt P die Darſtellung
der Biegungsmomente auszuführen. In Fig. 48) iſt
[Formel 1]

Aus den letzten zwei Gleichungen folgt
36) [Formel 2]
37) [Formel 3] .
Hieraus ergiebt ſich für jene zwei Curven folgende einfache
Conſtruction. In Fig. 66) Blatt 400 iſt die Ordinate der punk-
tirten Parabel Bn C Bn+1 gleich
[Formel 4] und
[Formel 5] .
Die Parabelordinaten ſind in horizontaler Richtung auf die
Linie E G projicirt, und durch die Fußpunkte der projiciren-
den Linien ſind Strahlen nach dem Punkte J gezogen. Die
Schnittpunkte dieſer Strahlen mit den entſprechenden Parabel-
ordinaten ſind Punkte der Curven für Mn.

In ganz ähnlicher Weiſe ergiebt ſich nach Fig. 67) die
Curve für Mn+1, indem man die Ordinaten der Parabel
Bn D Bn+1 gleich
[Formel 6] aufträgt.

Das Maximum von Mn tritt ein, wenn
38) [Formel 7]
und dasjenige von Mn+1, wenn
39) [Formel 8]
iſt; in dieſen beiden Punkten erzeugt alſo eine Einzellaſt das
größtmögliche Biegungsmoment über der nten und n+1ſten
Stütze. Jene Werthe von x laſſen ſich leichter auf graphi-
ſchem Wege als durch Rechnung beſtimmen.

In Fig. 68) iſt
[Formel 9] D und E ſind, wie man ſich leicht überzeugt, die beiden ge-
ſuchten Punkte.

Als eine merkwürdige Beziehung iſt noch zu erwähnen,
daß die in Rede ſtehenden beiden Curven die Biegungscurven
der nten Oeffnung für die beiden Fälle ſind, in welchen nur
links oder nur rechts von der nten Oeffnung Belaſtungen auf
den Träger einwirken. Man überzeugt ſich hiervon, wenn
man die zweiten Abgeleiteten der Gleichungen 36) und 37) bil-
det und dieſe mit den Gleichungen der Biegungsmomente für
jene Belaſtungsfälle vergleicht. Die zweite Abgeleitete der
Gleichung 36) iſt
[Formel 10] und die Gleichung der Biegungsmomente der unbelaſteten nten
Oeffnung
[Formel 11]

Wenn der Träger nur links von der nten Oeffnung be-
laſtet iſt, ſo iſt
und daher
[Formel 12]

Bezeichnet man die Ordinate der Curve Bn O O .. Bn+1
mit y, ſo iſt alſo
[Formel 13] d. h. jene Curve iſt die Biegungscurve für den oben bezeich-
neten Belaſtungsfall. Ebenſo findet man, daß die Curve
Bn 6 6 Bn+1 die Biegungscurve darſtellt, wenn der Träger
nur rechts von der nten Oeffnung belaſtet iſt.

Aus den Fig. 50—52 iſt ohne Weiteres zu erſehen:

1) die Wendepunkte U und V der von einer Einzellaſt
erzeugten Biegungscurve liegen nie zwiſchen den beiden
Fixpunkten Nn und On, ſondern immer zwiſchen dieſen
Punkten und den Stützpunkten;

2) jede Belaſtung der nten Oeffnung erzeugt daher in
jedem Punkt der Strecke Nn On ein poſitives Biegungs-
moment und die ganze Länge der Oeffnung muß von
der größtmöglichen Belaſtung bedeckt ſein, um in dieſen
Punkten das Maximalbiegungsmoment hervorzurufen;

3) in den Punkten der beiden Strecken Bn Nn und On Bn+1
kommen poſitive und negative Biegungsmomente vor.
Man findet mit Hülfe der Curven U und V (Fig. 50)