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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.

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leicht die Lage derjenigen Belastung, welche in einem
beliebigen Punkte jener zwei Strecken ein Biegungsmo-
ment gleich Null hervorruft. Die Lage dieser Belastung
theilt die Oeffnung in zwei Strecken, deren Belastun-
gen entgegengesetzte Biegungsmomente in dem betrach-
teten Punkt erzeugen. Beispielsweise ist die Ordinate
von C2 die Belastungsscheide für den Punkt A5, denn
auf der Ordinate von A5 liegt -- zufällig -- der Wende-
punkt V2, und man ersieht aus der in Fig. 52) mit der
Ziffer 5 bezeichneten Curve, daß alle Belastungen links
von C2 negative und alle Belastungen rechts von diesem
Punkte positive Biegungsmomente in dem Punkte A5
erzeugen.

4) Jeder Punkt A der Linie Bn Bn+1 theilt die Oeffnung
ln in zwei Strecken, deren Belastungen abscheerende
Kräfte von entgegengesetzten Richtungen in dem Punkt A
erzeugen. Die Maxima der abscheerenden Kräfte werden
also hervorgerufen, wenn eine jener beiden Strecken
von der größtmöglichen Last bedeckt ist.

5) Die Fig. 52) giebt das Mittel, um die Maxima der
positiven und negativen Biegungsmomente, welche von
einer Belastung p pro Längeneinheit erzeugt werden
können, zu bestimmen, denn diese Maxima sind offen-
bar proportional den Flächen, welche zwischen den Cur-
ven der Fig. 52) und der Abscissenachse liegen; z. B.
ist das positive Maximalmoment in dem Punkte A1 pro-
portional der positiven Fläche -- oberhalb der Abscissen-
achse -- zwischen der Curve 1 1 ... und der Achse
Bn Bn+1 und das negative Maximalmoment jenes
Punktes ist proportional der Fläche unterhalb der Achse.
Jene Flächen in Fig. 52 sind mit dem Planimeter ge-
messen und ihre Werthe als Ordinaten in Fig. 53) zu
einer graphischen Darstellung zusammengestellt. Da die
Maximalmomente zwischen Nn und On bei voller Be-
lastung der ganzen Länge ln eintreten, so ist der Cur-
venzweig J D3 K eine Parabel, und zwar ein Theil
der Curve E0 D3 E6, welche die Biegungsmomente bei
voller Belastung der Oeffnung graphisch darstellt *).

Die Curvenzweige Bn D1 J und K D5 Bn+1 ergeben
die positiven Maximalmomente für den übrigen Theil der
Oeffnung. Diese Curven tangiren die Abscissenachse und die
Parabel E0 D3 E6 und können ohne erheblichen Fehler als
Parabeln gezeichnet werden, deren verticale Achsen durch die
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Stützpunkte gehen. Die Ordinaten der Curve E0 E1 Nn und
On E5 E6 ergeben die negativen Maximalmomente. Diese
Curven tangiren ebenfalls die Abscissenachse und die Parabel
E0 D3 E6 und können als Parabeln gezeichnet werden, deren
verticale Achsen durch die Fixpunkte Nn und On gehen.

In Fig. 54) sind nach Anleitung der Fig. 49) die ab-
scheerenden Kräfte construirt, welche innerhalb der nten Oeff-
nung erzeugt werden, wenn eine Einzellast von der Größe
A0 D0 in einem der sieben Theilpunkte der nten Oeffnung
des im Uebrigen unbelasteten Trägers angebracht wird. Die
Curve D0 A6 theilt die von den Ordinaten A D dargestellten
Belastungen in die beiden Theile A F und D F, welche die ab-
scheerenden Kräfte links und rechts von dem belasteten Punkte
darstellen. Beachtet man, daß die Curve D0 A6 für einen nicht
continuirlichen, an seinen Enden frei unterstützten Träger in die
gerade Linie D0 A6 übergeht, so erkennt man aus Fig. 54)
leicht den Einfluß der Continuität in Bezug auf die Bildung
der abscheerenden Kräfte. Mit Hülfe dieser Figur lassen sich
ferner die Maxima der von einer continuirlichen Belastung
erzeugten abscheerenden Kräfte bestimmen. Diese Maxima treten
ein, wenn eine der beiden Strecken zwischen dem betrachteten
Punkte und den zwei Nachbarstützen von der Last bedeckt ist.
Wird die Belastung pro Längeneinheit durch die Ordinate
A0 D0 dargestellt, so sind, wenn z. B. die Maxima der ab-
scheerenden Kräfte für den Punkt A2 bestimmt werden sollen,
A0 D0 D2 A2 und A2 D2 A6 D6 die in Frage kommenden
Belastungsflächen, und die abscheerende Verticalkraft wird im
ersten Falle von der Fläche + D0 D2 F2 und im zweiten
Belastungsfalle von der Fläche -- A2 F2 A6 dargestellt.
Zwischen diesen beiden Grenzen variirt die von der beweg-
lichen Belastung der nten Oeffnung in dem Punkte A2 er-
zeugte abscheerende Verticalkraft. In Fig. 55) wird die
erstere Fläche durch die Ordinate A2 G2 und die Fläche
A2 F2 A6 durch die Ordinate A2 H2 dargestellt. Indem auch
für die übrigen Theilpunkte die entsprechenden Flächen berech-
net und als Ordinaten aufgetragen wurden, entstanden die
Curven A0 G6 und H0 A6. Zur Vervollständigung der Dar-
stellung wurden die beiden geraden Linien A0 J6 und K0 A6
aufgetragen, deren Ordinaten die Größen der Belastungen
darstellen, von welchen jene abscheerenden Kräfte erzeugt wer-
den. Wenn also der Anfangspunkt der mobilen Belastung
von A0 nach A6 sich bewegt, so wächst die Belastung der
Oeffnung wie die Ordinate der geraden Linie A0 J6, und die
abscheerende Verticalkraft im Anfangspunkt der Last wie die
Ordinate der Curve A0 G6; die Gerade A6 K0 und die
Curve A6 H0 geben dieselbe Darstellung für den Fall, daß
der Anfangspunkt der Last von A6 nach A0 sich bewegt. In
der Regel wird es genügen, die beiden abscheerenden Kräfte
über den Stützen
[Formel 1]

*) Macht man (Fig. 53) G H = 4/3 H D3, so erzeugt die Bela-
stungsfläche E0 G E6 dieselben Auflagerdrücke, wie die Parabelfläche
E0 D3 E6; die Wendepunkte der Biegungscurve, welche der Belastungs-
fläche E0 G E6 entsprechen, müssen in den Verticalen der Wendepunkte
U3 und V3 in Fig. 50 und 51 liegen. Ferner folgt aus den Betrach-
tungen, welche den Figuren 40 und 41 zu Grunde liegen, daß die
Geraden E0 D3 und E6 D3 in Fig. 53) durch die Fixpunkte Nn und On
gehen müssen. Diese Bedingungen sind als Controle für die Richtig-
keit der Zeichnung benutzt.

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
leicht die Lage derjenigen Belaſtung, welche in einem
beliebigen Punkte jener zwei Strecken ein Biegungsmo-
ment gleich Null hervorruft. Die Lage dieſer Belaſtung
theilt die Oeffnung in zwei Strecken, deren Belaſtun-
gen entgegengeſetzte Biegungsmomente in dem betrach-
teten Punkt erzeugen. Beiſpielsweiſe iſt die Ordinate
von C2 die Belaſtungsſcheide für den Punkt A5, denn
auf der Ordinate von A5 liegt — zufällig — der Wende-
punkt V2, und man erſieht aus der in Fig. 52) mit der
Ziffer 5 bezeichneten Curve, daß alle Belaſtungen links
von C2 negative und alle Belaſtungen rechts von dieſem
Punkte poſitive Biegungsmomente in dem Punkte A5
erzeugen.

4) Jeder Punkt A der Linie Bn Bn+1 theilt die Oeffnung
ln in zwei Strecken, deren Belaſtungen abſcheerende
Kräfte von entgegengeſetzten Richtungen in dem Punkt A
erzeugen. Die Maxima der abſcheerenden Kräfte werden
alſo hervorgerufen, wenn eine jener beiden Strecken
von der größtmöglichen Laſt bedeckt iſt.

5) Die Fig. 52) giebt das Mittel, um die Maxima der
poſitiven und negativen Biegungsmomente, welche von
einer Belaſtung p pro Längeneinheit erzeugt werden
können, zu beſtimmen, denn dieſe Maxima ſind offen-
bar proportional den Flächen, welche zwiſchen den Cur-
ven der Fig. 52) und der Abſciſſenachſe liegen; z. B.
iſt das poſitive Maximalmoment in dem Punkte A1 pro-
portional der poſitiven Fläche — oberhalb der Abſciſſen-
achſe — zwiſchen der Curve 1 1 … und der Achſe
Bn Bn+1 und das negative Maximalmoment jenes
Punktes iſt proportional der Fläche unterhalb der Achſe.
Jene Flächen in Fig. 52 ſind mit dem Planimeter ge-
meſſen und ihre Werthe als Ordinaten in Fig. 53) zu
einer graphiſchen Darſtellung zuſammengeſtellt. Da die
Maximalmomente zwiſchen Nn und On bei voller Be-
laſtung der ganzen Länge ln eintreten, ſo iſt der Cur-
venzweig J D3 K eine Parabel, und zwar ein Theil
der Curve E0 D3 E6, welche die Biegungsmomente bei
voller Belaſtung der Oeffnung graphiſch darſtellt *).

Die Curvenzweige Bn D1 J und K D5 Bn+1 ergeben
die poſitiven Maximalmomente für den übrigen Theil der
Oeffnung. Dieſe Curven tangiren die Abſciſſenachſe und die
Parabel E0 D3 E6 und können ohne erheblichen Fehler als
Parabeln gezeichnet werden, deren verticale Achſen durch die
[Spaltenumbruch]
Stützpunkte gehen. Die Ordinaten der Curve E0 E1 Nn und
On E5 E6 ergeben die negativen Maximalmomente. Dieſe
Curven tangiren ebenfalls die Abſciſſenachſe und die Parabel
E0 D3 E6 und können als Parabeln gezeichnet werden, deren
verticale Achſen durch die Fixpunkte Nn und On gehen.

In Fig. 54) ſind nach Anleitung der Fig. 49) die ab-
ſcheerenden Kräfte conſtruirt, welche innerhalb der nten Oeff-
nung erzeugt werden, wenn eine Einzellaſt von der Größe
A0 D0 in einem der ſieben Theilpunkte der nten Oeffnung
des im Uebrigen unbelaſteten Trägers angebracht wird. Die
Curve D0 A6 theilt die von den Ordinaten A D dargeſtellten
Belaſtungen in die beiden Theile A F und D F, welche die ab-
ſcheerenden Kräfte links und rechts von dem belaſteten Punkte
darſtellen. Beachtet man, daß die Curve D0 A6 für einen nicht
continuirlichen, an ſeinen Enden frei unterſtützten Träger in die
gerade Linie D0 A6 übergeht, ſo erkennt man aus Fig. 54)
leicht den Einfluß der Continuität in Bezug auf die Bildung
der abſcheerenden Kräfte. Mit Hülfe dieſer Figur laſſen ſich
ferner die Maxima der von einer continuirlichen Belaſtung
erzeugten abſcheerenden Kräfte beſtimmen. Dieſe Maxima treten
ein, wenn eine der beiden Strecken zwiſchen dem betrachteten
Punkte und den zwei Nachbarſtützen von der Laſt bedeckt iſt.
Wird die Belaſtung pro Längeneinheit durch die Ordinate
A0 D0 dargeſtellt, ſo ſind, wenn z. B. die Maxima der ab-
ſcheerenden Kräfte für den Punkt A2 beſtimmt werden ſollen,
A0 D0 D2 A2 und A2 D2 A6 D6 die in Frage kommenden
Belaſtungsflächen, und die abſcheerende Verticalkraft wird im
erſten Falle von der Fläche + D0 D2 F2 und im zweiten
Belaſtungsfalle von der Fläche — A2 F2 A6 dargeſtellt.
Zwiſchen dieſen beiden Grenzen variirt die von der beweg-
lichen Belaſtung der nten Oeffnung in dem Punkte A2 er-
zeugte abſcheerende Verticalkraft. In Fig. 55) wird die
erſtere Fläche durch die Ordinate A2 G2 und die Fläche
A2 F2 A6 durch die Ordinate A2 H2 dargeſtellt. Indem auch
für die übrigen Theilpunkte die entſprechenden Flächen berech-
net und als Ordinaten aufgetragen wurden, entſtanden die
Curven A0 G6 und H0 A6. Zur Vervollſtändigung der Dar-
ſtellung wurden die beiden geraden Linien A0 J6 und K0 A6
aufgetragen, deren Ordinaten die Größen der Belaſtungen
darſtellen, von welchen jene abſcheerenden Kräfte erzeugt wer-
den. Wenn alſo der Anfangspunkt der mobilen Belaſtung
von A0 nach A6 ſich bewegt, ſo wächſt die Belaſtung der
Oeffnung wie die Ordinate der geraden Linie A0 J6, und die
abſcheerende Verticalkraft im Anfangspunkt der Laſt wie die
Ordinate der Curve A0 G6; die Gerade A6 K0 und die
Curve A6 H0 geben dieſelbe Darſtellung für den Fall, daß
der Anfangspunkt der Laſt von A6 nach A0 ſich bewegt. In
der Regel wird es genügen, die beiden abſcheerenden Kräfte
über den Stützen
[Formel 1]

*) Macht man (Fig. 53) G H = 4/3 H D3, ſo erzeugt die Bela-
ſtungsfläche E0 G E6 dieſelben Auflagerdrücke, wie die Parabelfläche
E0 D3 E6; die Wendepunkte der Biegungscurve, welche der Belaſtungs-
fläche E0 G E6 entſprechen, müſſen in den Verticalen der Wendepunkte
U3 und V3 in Fig. 50 und 51 liegen. Ferner folgt aus den Betrach-
tungen, welche den Figuren 40 und 41 zu Grunde liegen, daß die
Geraden E0 D3 und E6 D3 in Fig. 53) durch die Fixpunkte Nn und On
gehen müſſen. Dieſe Bedingungen ſind als Controle für die Richtig-
keit der Zeichnung benutzt.

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[[15]/0026] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. leicht die Lage derjenigen Belaſtung, welche in einem beliebigen Punkte jener zwei Strecken ein Biegungsmo- ment gleich Null hervorruft. Die Lage dieſer Belaſtung theilt die Oeffnung in zwei Strecken, deren Belaſtun- gen entgegengeſetzte Biegungsmomente in dem betrach- teten Punkt erzeugen. Beiſpielsweiſe iſt die Ordinate von C2 die Belaſtungsſcheide für den Punkt A5, denn auf der Ordinate von A5 liegt — zufällig — der Wende- punkt V2, und man erſieht aus der in Fig. 52) mit der Ziffer 5 bezeichneten Curve, daß alle Belaſtungen links von C2 negative und alle Belaſtungen rechts von dieſem Punkte poſitive Biegungsmomente in dem Punkte A5 erzeugen. 4) Jeder Punkt A der Linie Bn Bn+1 theilt die Oeffnung ln in zwei Strecken, deren Belaſtungen abſcheerende Kräfte von entgegengeſetzten Richtungen in dem Punkt A erzeugen. Die Maxima der abſcheerenden Kräfte werden alſo hervorgerufen, wenn eine jener beiden Strecken von der größtmöglichen Laſt bedeckt iſt. 5) Die Fig. 52) giebt das Mittel, um die Maxima der poſitiven und negativen Biegungsmomente, welche von einer Belaſtung p pro Längeneinheit erzeugt werden können, zu beſtimmen, denn dieſe Maxima ſind offen- bar proportional den Flächen, welche zwiſchen den Cur- ven der Fig. 52) und der Abſciſſenachſe liegen; z. B. iſt das poſitive Maximalmoment in dem Punkte A1 pro- portional der poſitiven Fläche — oberhalb der Abſciſſen- achſe — zwiſchen der Curve 1 1 … und der Achſe Bn Bn+1 und das negative Maximalmoment jenes Punktes iſt proportional der Fläche unterhalb der Achſe. Jene Flächen in Fig. 52 ſind mit dem Planimeter ge- meſſen und ihre Werthe als Ordinaten in Fig. 53) zu einer graphiſchen Darſtellung zuſammengeſtellt. Da die Maximalmomente zwiſchen Nn und On bei voller Be- laſtung der ganzen Länge ln eintreten, ſo iſt der Cur- venzweig J D3 K eine Parabel, und zwar ein Theil der Curve E0 D3 E6, welche die Biegungsmomente bei voller Belaſtung der Oeffnung graphiſch darſtellt *). Die Curvenzweige Bn D1 J und K D5 Bn+1 ergeben die poſitiven Maximalmomente für den übrigen Theil der Oeffnung. Dieſe Curven tangiren die Abſciſſenachſe und die Parabel E0 D3 E6 und können ohne erheblichen Fehler als Parabeln gezeichnet werden, deren verticale Achſen durch die Stützpunkte gehen. Die Ordinaten der Curve E0 E1 Nn und On E5 E6 ergeben die negativen Maximalmomente. Dieſe Curven tangiren ebenfalls die Abſciſſenachſe und die Parabel E0 D3 E6 und können als Parabeln gezeichnet werden, deren verticale Achſen durch die Fixpunkte Nn und On gehen. In Fig. 54) ſind nach Anleitung der Fig. 49) die ab- ſcheerenden Kräfte conſtruirt, welche innerhalb der nten Oeff- nung erzeugt werden, wenn eine Einzellaſt von der Größe A0 D0 in einem der ſieben Theilpunkte der nten Oeffnung des im Uebrigen unbelaſteten Trägers angebracht wird. Die Curve D0 A6 theilt die von den Ordinaten A D dargeſtellten Belaſtungen in die beiden Theile A F und D F, welche die ab- ſcheerenden Kräfte links und rechts von dem belaſteten Punkte darſtellen. Beachtet man, daß die Curve D0 A6 für einen nicht continuirlichen, an ſeinen Enden frei unterſtützten Träger in die gerade Linie D0 A6 übergeht, ſo erkennt man aus Fig. 54) leicht den Einfluß der Continuität in Bezug auf die Bildung der abſcheerenden Kräfte. Mit Hülfe dieſer Figur laſſen ſich ferner die Maxima der von einer continuirlichen Belaſtung erzeugten abſcheerenden Kräfte beſtimmen. Dieſe Maxima treten ein, wenn eine der beiden Strecken zwiſchen dem betrachteten Punkte und den zwei Nachbarſtützen von der Laſt bedeckt iſt. Wird die Belaſtung pro Längeneinheit durch die Ordinate A0 D0 dargeſtellt, ſo ſind, wenn z. B. die Maxima der ab- ſcheerenden Kräfte für den Punkt A2 beſtimmt werden ſollen, A0 D0 D2 A2 und A2 D2 A6 D6 die in Frage kommenden Belaſtungsflächen, und die abſcheerende Verticalkraft wird im erſten Falle von der Fläche + D0 D2 F2 und im zweiten Belaſtungsfalle von der Fläche — A2 F2 A6 dargeſtellt. Zwiſchen dieſen beiden Grenzen variirt die von der beweg- lichen Belaſtung der nten Oeffnung in dem Punkte A2 er- zeugte abſcheerende Verticalkraft. In Fig. 55) wird die erſtere Fläche durch die Ordinate A2 G2 und die Fläche A2 F2 A6 durch die Ordinate A2 H2 dargeſtellt. Indem auch für die übrigen Theilpunkte die entſprechenden Flächen berech- net und als Ordinaten aufgetragen wurden, entſtanden die Curven A0 G6 und H0 A6. Zur Vervollſtändigung der Dar- ſtellung wurden die beiden geraden Linien A0 J6 und K0 A6 aufgetragen, deren Ordinaten die Größen der Belaſtungen darſtellen, von welchen jene abſcheerenden Kräfte erzeugt wer- den. Wenn alſo der Anfangspunkt der mobilen Belaſtung von A0 nach A6 ſich bewegt, ſo wächſt die Belaſtung der Oeffnung wie die Ordinate der geraden Linie A0 J6, und die abſcheerende Verticalkraft im Anfangspunkt der Laſt wie die Ordinate der Curve A0 G6; die Gerade A6 K0 und die Curve A6 H0 geben dieſelbe Darſtellung für den Fall, daß der Anfangspunkt der Laſt von A6 nach A0 ſich bewegt. In der Regel wird es genügen, die beiden abſcheerenden Kräfte über den Stützen [FORMEL] *) Macht man (Fig. 53) G H = 4/3 H D3, ſo erzeugt die Bela- ſtungsfläche E0 G E6 dieſelben Auflagerdrücke, wie die Parabelfläche E0 D3 E6; die Wendepunkte der Biegungscurve, welche der Belaſtungs- fläche E0 G E6 entſprechen, müſſen in den Verticalen der Wendepunkte U3 und V3 in Fig. 50 und 51 liegen. Ferner folgt aus den Betrach- tungen, welche den Figuren 40 und 41 zu Grunde liegen, daß die Geraden E0 D3 und E6 D3 in Fig. 53) durch die Fixpunkte Nn und On gehen müſſen. Dieſe Bedingungen ſind als Controle für die Richtig- keit der Zeichnung benutzt.

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Zitationshilfe:	Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [15]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/26>, abgerufen am 21.11.2024.

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