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Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

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und hieraus folgt dann für den ganzen Körper der durch die Gleich. (154)
gegebene Arbeitswerth A.*)

Im Falle t = 0 und L = 0 entstehen aus (152) und (153) die
Castigliano'schen Sätze:

1) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X machen die
Formänderungsarbeit A, welche als Funktion der zuerst unab-
hängig veränderlich angenommenen Werthe X darzustellen ist, zu
einem Minimum.

2) Die Verschiebung des Angriffspunktes m einer Last Pm
im Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab-
geleiteten der Formänderungsarbeit A.

Bei der Ausführung der durch die Gleich. 150 und 153 vor-
geschriebenen Differentiationen dürfen sämmtliche Grössen X als Kon-
stanten aufgefasst werden. Man gehe gewissermassen von dem all-
gemeineren Falle willkürlicher Werthe X aus, wende also die Gleich. 150
und 153 (wie in den Abschnitten I und II) auf den statisch bestimmten
Hauptträger an. Die Auffassung der X als Funktionen der Lasten P
führt, wenn die Bedingungsgleichungen 143 berücksichtigt werden, zu
denselben Ergebnissen; der (übrigens überflüssige) Beweis hierfür kann
ähnlich geführt werden wie beim Fachwerke. Vergl. Seite 54.

3) Der Maxwell'sche Satz. Wir nehmen an, dass die dem
spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur ungeändert
bleibt (t = 0) und die Auflagerkräfte bei eintretenden elastischen Ver-
schiebungen keine Arbeit leisten (D c = 0). Den Körper denken wir
durch drei einander rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in un-
endlich kleine Theilchen zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normal-
spannungen auftreten, welche dann Hauptspannungen heissen und
mit s1, s2, s3 bezeichnet werden mögen. Dass eine derartige Zerlegung
stets ausführbar ist, setzen wir hier als bekannt voraus.

Die Verschiebungen d1 und d2, welche beliebige Körperpunkte A1
und A2 in Folge irgend welcher Belastung nach den Richtungen A1 B1
und A2 B2 erfahren, ergeben sich nach (143) aus den Arbeitsgleichungen
[Formel 1] und
[Formel 2] ,
wobei für irgend einen Punkt des Körpers
[Formel 3] , [Formel 4] , [Formel 5] diejenigen Hauptspannungen bedeuten, welche eine

*) Führt man in Gleich. 142 die wirklichen Werthe von ex, ey, ez, gx, gy,
gz ein, so erhält man für den Zustand t = 0: S P d + S C D c = Av = 2 A.
Bezeichnet man also mit Q irgend eine äussere Kraft und mit r die Ver-
schiebung ihres Angriffspunktes im Sinne von Q, so besteht die Beziehung:
1/2 S Q r = A,
welche das Clapeyron'sche Gesetz heisst.

und hieraus folgt dann für den ganzen Körper der durch die Gleich. (154)
gegebene Arbeitswerth A.*)

Im Falle t = 0 und L = 0 entstehen aus (152) und (153) die
Castigliano’schen Sätze:

1) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X machen die
Formänderungsarbeit A, welche als Funktion der zuerst unab-
hängig veränderlich angenommenen Werthe X darzustellen ist, zu
einem Minimum.

2) Die Verschiebung des Angriffspunktes m einer Last Pm
im Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab-
geleiteten der Formänderungsarbeit A.

Bei der Ausführung der durch die Gleich. 150 und 153 vor-
geschriebenen Differentiationen dürfen sämmtliche Grössen X als Kon-
stanten aufgefasst werden. Man gehe gewissermassen von dem all-
gemeineren Falle willkürlicher Werthe X aus, wende also die Gleich. 150
und 153 (wie in den Abschnitten I und II) auf den statisch bestimmten
Hauptträger an. Die Auffassung der X als Funktionen der Lasten P
führt, wenn die Bedingungsgleichungen 143 berücksichtigt werden, zu
denselben Ergebnissen; der (übrigens überflüssige) Beweis hierfür kann
ähnlich geführt werden wie beim Fachwerke. Vergl. Seite 54.

3) Der Maxwell’sche Satz. Wir nehmen an, dass die dem
spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur ungeändert
bleibt (t = 0) und die Auflagerkräfte bei eintretenden elastischen Ver-
schiebungen keine Arbeit leisten (Δ c = 0). Den Körper denken wir
durch drei einander rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in un-
endlich kleine Theilchen zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normal-
spannungen auftreten, welche dann Hauptspannungen heissen und
mit σ1, σ2, σ3 bezeichnet werden mögen. Dass eine derartige Zerlegung
stets ausführbar ist, setzen wir hier als bekannt voraus.

Die Verschiebungen δ1 und δ2, welche beliebige Körperpunkte A1
und A2 in Folge irgend welcher Belastung nach den Richtungen A1 B1
und A2 B2 erfahren, ergeben sich nach (143) aus den Arbeitsgleichungen
[Formel 1] und
[Formel 2] ,
wobei für irgend einen Punkt des Körpers
[Formel 3] , [Formel 4] , [Formel 5] diejenigen Hauptspannungen bedeuten, welche eine

*) Führt man in Gleich. 142 die wirklichen Werthe von εx, εy, εz, γx, γy,
γz ein, so erhält man für den Zustand t = 0: Σ P δ + Σ C Δ c = Av = 2 A.
Bezeichnet man also mit Q irgend eine äussere Kraft und mit r die Ver-
schiebung ihres Angriffspunktes im Sinne von Q, so besteht die Beziehung:
½ Σ Q r = A,
welche das Clapeyron’sche Gesetz heisst.
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[175/0187] und hieraus folgt dann für den ganzen Körper der durch die Gleich. (154) gegebene Arbeitswerth A. *) Im Falle t = 0 und L = 0 entstehen aus (152) und (153) die Castigliano’schen Sätze: 1) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X machen die Formänderungsarbeit A, welche als Funktion der zuerst unab- hängig veränderlich angenommenen Werthe X darzustellen ist, zu einem Minimum. 2) Die Verschiebung des Angriffspunktes m einer Last Pm im Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab- geleiteten der Formänderungsarbeit A. Bei der Ausführung der durch die Gleich. 150 und 153 vor- geschriebenen Differentiationen dürfen sämmtliche Grössen X als Kon- stanten aufgefasst werden. Man gehe gewissermassen von dem all- gemeineren Falle willkürlicher Werthe X aus, wende also die Gleich. 150 und 153 (wie in den Abschnitten I und II) auf den statisch bestimmten Hauptträger an. Die Auffassung der X als Funktionen der Lasten P führt, wenn die Bedingungsgleichungen 143 berücksichtigt werden, zu denselben Ergebnissen; der (übrigens überflüssige) Beweis hierfür kann ähnlich geführt werden wie beim Fachwerke. Vergl. Seite 54. 3) Der Maxwell’sche Satz. Wir nehmen an, dass die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechende Temperatur ungeändert bleibt (t = 0) und die Auflagerkräfte bei eintretenden elastischen Ver- schiebungen keine Arbeit leisten (Δ c = 0). Den Körper denken wir durch drei einander rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in un- endlich kleine Theilchen zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normal- spannungen auftreten, welche dann Hauptspannungen heissen und mit σ1, σ2, σ3 bezeichnet werden mögen. Dass eine derartige Zerlegung stets ausführbar ist, setzen wir hier als bekannt voraus. Die Verschiebungen δ1 und δ2, welche beliebige Körperpunkte A1 und A2 in Folge irgend welcher Belastung nach den Richtungen A1 B1 und A2 B2 erfahren, ergeben sich nach (143) aus den Arbeitsgleichungen [FORMEL] und [FORMEL], wobei für irgend einen Punkt des Körpers [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL] diejenigen Hauptspannungen bedeuten, welche eine *) Führt man in Gleich. 142 die wirklichen Werthe von εx, εy, εz, γx, γy, γz ein, so erhält man für den Zustand t = 0: Σ P δ + Σ C Δ c = Av = 2 A. Bezeichnet man also mit Q irgend eine äussere Kraft und mit r die Ver- schiebung ihres Angriffspunktes im Sinne von Q, so besteht die Beziehung: ½ Σ Q r = A, welche das Clapeyron’sche Gesetz heisst.

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Zitationshilfe: Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 175. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/187>, abgerufen am 04.12.2024.