Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.

Oktaederflächeo finde ich, indem ich die Punkte von g mit w
verbinde, deren Durchschnitt dann oooo gibt. Denn ziehe ich von diesem
o noch den Mittelpunkt m, der unter der Projektionsebene gedacht wird,
so muß diese senkrecht auf a : b : c stehen, da ocgg die Ecken eines Würfels
sind, der seine o gegenüber liegende Ecke im Mittelpunkte m hat. Das
Symbol der Fläche o = 111 bedeutet weiter nichts, als die Entfernung
des Ortes o von den drei Axenebenen ab, ac, bc: so bestimmt man die
Wirkung dreier Kräfte im Raum. Um also ganz allgemein den Ort einer
Fläche [Formel 1] zu bestimmen, suche ich die Flächenorte von [Formel 2] und
[Formel 3] errichte aus beiden Punkten Perpendikel gegen die respectiven
Axen, so ist der Durchschnittspunkt der verlangte Flächenort. Das

Leucitoederl = a : a : 1/2a liegt mit gg und oc in einer Zone, daher
geben die Durchschnitte dieser Linien den Ort l, die übrigen acht Flächen
liegen ebenfalls im Durchschnitt der Linien gg und ow. Den

Pyramidenwürfelh = a : 1/2a : infinitya kann man zwar unmittel-
bar durch Rechnung bestimmen, allein er liegt auch in Zone ll und gc
achtmal, und viermal in ll und der unendlichen gw. Das

Pyramidenoktaedert = a : a : 2a liegt in hl und go und der

Achtundvierzigflächnerx = a : 1/2a : 1/3 a in gg und ll. Ver-
möge seines Axenausdrucks muß das Symbol 1 2 3 sein, und die 8 äußer-
sten x links und rechts sind auch 1 von der Axenebene ab, 2 von der
Axenebene bc, und 3 von der ac entfernt. Dasselbe gilt für die übrigen
x, wenn man je die kleinste Distanz 1 nennt: denn z. B. das mittlere
x unten rechts hat 1/2b a c = 1/2 1 = 132.

Diese Neumann'sche Punktmethode ist zwar compendiöser, als die
Linearmethode, allein sie liegt nicht so unmittelbar in der Anschauung.
Da die Flächen, deren Orte in eine Linie fallen, in einer Zone liegen, so
gewährt sie den Vortheil, daß man mit dem Lineal in der Hand die
Zonen heraussuchen kann, ohne sie vorher durch Linien versinnlichen zu
müssen, aber man kann deshalb auch leicht etwas übersehen.

Um die Figuren weniger auszudehnen, hat Neumann auch die Punkte
auf einer Kugeloberfläche gezeichnet, wo alle Flächenorte einer Zone in
ein und denselben größten Kreis fallen. Indessen entfernt man sich da-
mit immer von dem Zwecke, den die Projektionen eigentlich haben sollen:
nämlich die Anschauung unmittelbar zu unterstützen. Doch hat gerade
Miller dieser den Vorzug gegeben. Wenn solche Kreisfiguren etwas nützen
sollen, so müssen möglichst viel Zonen durch größte Kreise angedeutet sein,
denn hier kann man mit dem Lineal in der Hand nicht mehr forschen.

Auch für die Rechnung bietet diese Projektion manche Bequemlichkeit:
so sieht man leicht ein, daß der Winkel zwischen den Perpendikeln den
Kantenwinkel der beiden zugehörigen Flächen zu 180° ergänzt, Miller gibt
daher auch immer diese Supplementwinkel an, was gerade nicht anschau-
lich ist, doch kommt bei derartigen Betrachtungen viel auf Gewohnheit an.

Oktaederflächeo finde ich, indem ich die Punkte von g mit w
verbinde, deren Durchſchnitt dann oooo gibt. Denn ziehe ich von dieſem
o noch den Mittelpunkt m, der unter der Projektionsebene gedacht wird,
ſo muß dieſe ſenkrecht auf a : b : c ſtehen, da ocgg die Ecken eines Würfels
ſind, der ſeine o gegenüber liegende Ecke im Mittelpunkte m hat. Das
Symbol der Fläche o = 111 bedeutet weiter nichts, als die Entfernung
des Ortes o von den drei Axenebenen ab, ac, bc: ſo beſtimmt man die
Wirkung dreier Kräfte im Raum. Um alſo ganz allgemein den Ort einer
Fläche [Formel 1] zu beſtimmen, ſuche ich die Flächenorte von [Formel 2] und
[Formel 3] errichte aus beiden Punkten Perpendikel gegen die reſpectiven
Axen, ſo iſt der Durchſchnittspunkt der verlangte Flächenort. Das

Leucitoederl = a : a : ½a liegt mit gg und oc in einer Zone, daher
geben die Durchſchnitte dieſer Linien den Ort l, die übrigen acht Flächen
liegen ebenfalls im Durchſchnitt der Linien gg und ow. Den

Pyramidenwürfelh = a : ½a : ∞a kann man zwar unmittel-
bar durch Rechnung beſtimmen, allein er liegt auch in Zone ll und gc
achtmal, und viermal in ll und der unendlichen gw. Das

Pyramidenoktaedert = a : a : 2a liegt in hl und go und der

Achtundvierzigflächnerx = a : ½a : ⅓a in gg und ll. Ver-
möge ſeines Axenausdrucks muß das Symbol 1 2 3 ſein, und die 8 äußer-
ſten x links und rechts ſind auch 1 von der Axenebene ab, 2 von der
Axenebene bc, und 3 von der ac entfernt. Daſſelbe gilt für die übrigen
x, wenn man je die kleinſte Diſtanz 1 nennt: denn z. B. das mittlere
x unten rechts hat ½β α c = ½ 1 = 132.

Dieſe Neumann’ſche Punktmethode iſt zwar compendiöſer, als die
Linearmethode, allein ſie liegt nicht ſo unmittelbar in der Anſchauung.
Da die Flächen, deren Orte in eine Linie fallen, in einer Zone liegen, ſo
gewährt ſie den Vortheil, daß man mit dem Lineal in der Hand die
Zonen herausſuchen kann, ohne ſie vorher durch Linien verſinnlichen zu
müſſen, aber man kann deshalb auch leicht etwas überſehen.

Um die Figuren weniger auszudehnen, hat Neumann auch die Punkte
auf einer Kugeloberfläche gezeichnet, wo alle Flächenorte einer Zone in
ein und denſelben größten Kreis fallen. Indeſſen entfernt man ſich da-
mit immer von dem Zwecke, den die Projektionen eigentlich haben ſollen:
nämlich die Anſchauung unmittelbar zu unterſtützen. Doch hat gerade
Miller dieſer den Vorzug gegeben. Wenn ſolche Kreisfiguren etwas nützen
ſollen, ſo müſſen möglichſt viel Zonen durch größte Kreiſe angedeutet ſein,
denn hier kann man mit dem Lineal in der Hand nicht mehr forſchen.

Auch für die Rechnung bietet dieſe Projektion manche Bequemlichkeit:
ſo ſieht man leicht ein, daß der Winkel zwiſchen den Perpendikeln den
Kantenwinkel der beiden zugehörigen Flächen zu 180° ergänzt, Miller gibt
daher auch immer dieſe Supplementwinkel an, was gerade nicht anſchau-
lich iſt, doch kommt bei derartigen Betrachtungen viel auf Gewohnheit an.