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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.

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Darstellung des regulären Systems : 48-Flächner.
Oktaederecken a und acht dreikantige Pyramidenecken t. Man führt dreierlei
an: a : a : a, zu 2a und zu 3a, sie kommen
aber kaum anders als untergeordnet vor, indem
sie die Oktaederkanten zuschärfen. Nehmen wir
den mittlern a : a : 2a als Musterform, so hat
die Oktaederkante 141° 3' und die Pyramiden-
kante 152° 44'. Setzen wir an ihr die die
4+4kantigen Oktaederecken verbindende Haupt-
axe a = 1, so ist die die Mittelpunkte der
Oktaederkante o verbindende digonale Axe = [Formel 2] ,
und die die Pyramidenecken t verbindende tri-
gonale Axe = [Formel 3] . Da die trigonale Axe
[Abbildung] des Oktaeder = [Formel 4] ist, so beträgt die Höhe der Pyramiden [Formel 5] .

7) Die Achtundvierzigflächner (Hexakisoktaeder) mit 24 Krystall-
räumen werden von 48 ungleichseitigen Drei-
ecken begränzt. Der gewöhnliche darunter ist
das Pyramidengranatoeder a : 1/2a : 1/3 a,
was durch Zuschärfung der Granatoederkanten
entsteht, es erhebt sich daher auf jeder Gra-
natoederfläche atat eine 2+2kantige Pyramide
von ungleichseitigen Dreiecken. Sie haben
dreierlei Kanten: 24 Granatoederkanten g
158° 13', dem eingeschriebenen Granatoeder an-
gehörig; 24 gebrochene Oktaederkanten o 149°,
und 24 gebrochene Würfelkanten o 158° 13'.
[Abbildung] Die dreierlei Ecken sind: 4+4kantige Oktaederecken a, durch welche die
Hauptaxen = 1 gehen; 2+2kantige Pyramidenecken d, in den digonalen
Axen = [Formel 6] , und 3+3kantige Würfelecken t in den trigonalen Axen
= [Formel 7] . Es kommt noch ein zweites Pyramidengranatoeder a : 1/3 a : 1/4 a
vor, die übrigen bilden keine Pyramidengranatoeder.

Die 48-Flächner mit dreierlei Ecken und dreierlei Kanten bilden die
größtmögliche Zahl von gleichen Flächen. Nennen wir die Hauptaxen a,
die digonalen d, und die trigonalen t, so liegen die 4+4kantigen Ecken
in den Endpunkten von a, die 2+2kantigen von d und die 3+3kantigen
von t. Die Granatoederkanten gehen von a nach t, die gebrochenen
Oktaederkanten von a nach d, und die gebrochenen Würfelkanten von d
nach t. Beim Pyramidenoktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten dt
und folglich die Ecken in d; beim Pyramidenwürfel fehlen die gebrochenen
Oktaederkanten ad und folglich auch die Ecken in d; beim Leucitoeder fehlen
die Granatoederkanten at, aber alle drei Ecken bleiben. Beim Granatoeder
fehlen die gebrochenen Würfel- und Oktaederkanten ad und dt, folglich die
Ecken in d; beim Oktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten und
Granatoederkanten, folglich die Ecken in d und t; beim Würfel endlich
fehlen die gebrochenen Oktaederkanten und Granatoederkanten, folglich die
Ecken in a und d. Ein anderer Fall ist nicht möglich.

Die sieben Körper treten nun öfter an einander untergeordnet auf.
Das läßt sich am leichtesten in nachstehendem Schema von 7 * 7 = 49
Figuren übersehen, worin die sieben Körper die Diagonale bilden.


Darſtellung des regulären Syſtems : 48-Flächner.
Oktaederecken a und acht dreikantige Pyramidenecken t. Man führt dreierlei
an: a : a : a, zu 2a und zu 3a, ſie kommen
aber kaum anders als untergeordnet vor, indem
ſie die Oktaederkanten zuſchärfen. Nehmen wir
den mittlern a : a : 2a als Muſterform, ſo hat
die Oktaederkante 141° 3' und die Pyramiden-
kante 152° 44'. Setzen wir an ihr die die
4+4kantigen Oktaederecken verbindende Haupt-
axe a = 1, ſo iſt die die Mittelpunkte der
Oktaederkante o verbindende digonale Axe = [Formel 2] ,
und die die Pyramidenecken t verbindende tri-
gonale Axe = [Formel 3] . Da die trigonale Axe
[Abbildung] des Oktaeder = [Formel 4] iſt, ſo beträgt die Höhe der Pyramiden [Formel 5] .

7) Die Achtundvierzigflächner (Hexakisoktaeder) mit 24 Kryſtall-
räumen werden von 48 ungleichſeitigen Drei-
ecken begränzt. Der gewöhnliche darunter iſt
das Pyramidengranatoeder a : ½a : ⅓a,
was durch Zuſchärfung der Granatoederkanten
entſteht, es erhebt ſich daher auf jeder Gra-
natoederfläche atat eine 2+2kantige Pyramide
von ungleichſeitigen Dreiecken. Sie haben
dreierlei Kanten: 24 Granatoederkanten g
158° 13', dem eingeſchriebenen Granatoeder an-
gehörig; 24 gebrochene Oktaederkanten o 149°,
und 24 gebrochene Würfelkanten ω 158° 13'.
[Abbildung] Die dreierlei Ecken ſind: 4+4kantige Oktaederecken a, durch welche die
Hauptaxen = 1 gehen; 2+2kantige Pyramidenecken d, in den digonalen
Axen = [Formel 6] , und 3+3kantige Würfelecken t in den trigonalen Axen
= [Formel 7] . Es kommt noch ein zweites Pyramidengranatoeder a : ⅓a : ¼ a
vor, die übrigen bilden keine Pyramidengranatoeder.

Die 48-Flächner mit dreierlei Ecken und dreierlei Kanten bilden die
größtmögliche Zahl von gleichen Flächen. Nennen wir die Hauptaxen a,
die digonalen d, und die trigonalen t, ſo liegen die 4+4kantigen Ecken
in den Endpunkten von a, die 2+2kantigen von d und die 3+3kantigen
von t. Die Granatoederkanten gehen von a nach t, die gebrochenen
Oktaederkanten von a nach d, und die gebrochenen Würfelkanten von d
nach t. Beim Pyramidenoktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten dt
und folglich die Ecken in d; beim Pyramidenwürfel fehlen die gebrochenen
Oktaederkanten ad und folglich auch die Ecken in d; beim Leucitoeder fehlen
die Granatoederkanten at, aber alle drei Ecken bleiben. Beim Granatoeder
fehlen die gebrochenen Würfel- und Oktaederkanten ad und dt, folglich die
Ecken in d; beim Oktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten und
Granatoederkanten, folglich die Ecken in d und t; beim Würfel endlich
fehlen die gebrochenen Oktaederkanten und Granatoederkanten, folglich die
Ecken in a und d. Ein anderer Fall iſt nicht möglich.

Die ſieben Körper treten nun öfter an einander untergeordnet auf.
Das läßt ſich am leichteſten in nachſtehendem Schema von 7 • 7 = 49
Figuren überſehen, worin die ſieben Körper die Diagonale bilden.


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[63/0075] Darſtellung des regulären Syſtems : 48-Flächner. Oktaederecken a und acht dreikantige Pyramidenecken t. Man führt dreierlei an: a : a : [FORMEL] a, zu 2a und zu 3a, ſie kommen aber kaum anders als untergeordnet vor, indem ſie die Oktaederkanten zuſchärfen. Nehmen wir den mittlern a : a : 2a als Muſterform, ſo hat die Oktaederkante 141° 3' und die Pyramiden- kante 152° 44'. Setzen wir an ihr die die 4+4kantigen Oktaederecken verbindende Haupt- axe a = 1, ſo iſt die die Mittelpunkte der Oktaederkante o verbindende digonale Axe = [FORMEL], und die die Pyramidenecken t verbindende tri- gonale Axe = [FORMEL]. Da die trigonale Axe [Abbildung] des Oktaeder = [FORMEL] iſt, ſo beträgt die Höhe der Pyramiden [FORMEL]. 7) Die Achtundvierzigflächner (Hexakisoktaeder) mit 24 Kryſtall- räumen werden von 48 ungleichſeitigen Drei- ecken begränzt. Der gewöhnliche darunter iſt das Pyramidengranatoeder a : ½a : ⅓a, was durch Zuſchärfung der Granatoederkanten entſteht, es erhebt ſich daher auf jeder Gra- natoederfläche atat eine 2+2kantige Pyramide von ungleichſeitigen Dreiecken. Sie haben dreierlei Kanten: 24 Granatoederkanten g 158° 13', dem eingeſchriebenen Granatoeder an- gehörig; 24 gebrochene Oktaederkanten o 149°, und 24 gebrochene Würfelkanten ω 158° 13'. [Abbildung] Die dreierlei Ecken ſind: 4+4kantige Oktaederecken a, durch welche die Hauptaxen = 1 gehen; 2+2kantige Pyramidenecken d, in den digonalen Axen = [FORMEL], und 3+3kantige Würfelecken t in den trigonalen Axen = [FORMEL]. Es kommt noch ein zweites Pyramidengranatoeder a : ⅓a : ¼ a vor, die übrigen bilden keine Pyramidengranatoeder. Die 48-Flächner mit dreierlei Ecken und dreierlei Kanten bilden die größtmögliche Zahl von gleichen Flächen. Nennen wir die Hauptaxen a, die digonalen d, und die trigonalen t, ſo liegen die 4+4kantigen Ecken in den Endpunkten von a, die 2+2kantigen von d und die 3+3kantigen von t. Die Granatoederkanten gehen von a nach t, die gebrochenen Oktaederkanten von a nach d, und die gebrochenen Würfelkanten von d nach t. Beim Pyramidenoktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten dt und folglich die Ecken in d; beim Pyramidenwürfel fehlen die gebrochenen Oktaederkanten ad und folglich auch die Ecken in d; beim Leucitoeder fehlen die Granatoederkanten at, aber alle drei Ecken bleiben. Beim Granatoeder fehlen die gebrochenen Würfel- und Oktaederkanten ad und dt, folglich die Ecken in d; beim Oktaeder fehlen die gebrochenen Würfelkanten und Granatoederkanten, folglich die Ecken in d und t; beim Würfel endlich fehlen die gebrochenen Oktaederkanten und Granatoederkanten, folglich die Ecken in a und d. Ein anderer Fall iſt nicht möglich. Die ſieben Körper treten nun öfter an einander untergeordnet auf. Das läßt ſich am leichteſten in nachſtehendem Schema von 7 • 7 = 49 Figuren überſehen, worin die ſieben Körper die Diagonale bilden.

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Zitationshilfe: Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 63. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/75>, abgerufen am 21.11.2024.