Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.
Netze. haben einen stumpfen Winkel wie oben 5 : 3, im scharfen Winkel dagegen5 : 5, folglich hat die 3kantige Tetraederecke rechte Winkel, wie die Rech- nung des Winkels lehrt. Ein etwas unerwartetes Verhältniß. Die ungleichseitigen Dreiecke des Pyramidengranatoeders a : 1/3 a : 1/2a [Abbildung]
[Abbildung]
Perpendikel von der 2+2kantigen Pyramidenecke d auf dieBasis der Granatoederkante at ist. Denn die Pyramide erhebt sich [Formel 2] über der Granatoederflache, die Kante des Granatoeders at = [Formel 3] , die gebrochene Oktaederkante ad = [Formel 4] . Uebrigens liegen die Dreiecke sämmtlicher Pyramidengranatoeder zwischen den Dreiecken der Granatoederfläche von der Höhe [Formel 5] , und der Leuci- toederfläche von der Höhe [Formel 6] . Da nun beide bekannt sind, so darf man nur ein beliebiges Zwischenstück wählen, um ein Pyramidengrana- toeder zu bekommen, da ein jedes für die Anschauung genügt. Wenn die Zahlen für die Construktion etwas unbequem werden, wie beim ge- brochenen Pyramidentetraeder a : 1/3 a : 1/2a, so darf ich in diesem Falle nur das Dreieck des zugehörigen 48-Flächners hinzeichnen, die gebrochene Würfel- kante daran verlängern, und den Winkel an der gebrochenen Oktaeder- kante suchen, er ist tg = [Formel 7] = 68° 50'. Trage ich diesen mit dem Transporteur an das andere Ende der Granatoederkante an, so ist das Dreieck gefunden. Das gewöhnliche Pyritoeder a : 1/2a : infinitya hat beistehende Diagonalen. Die Fläche des gebrochenen Pyritoeder pag. 69 a : 1/3 a : 1/2 ent- [Abbildung]
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wickeln wir aus dem Dreieck des gleichnamigen48-Flächners, was wir kennen, wir brauchen dann außer der gebrochenen Würfelkante o nur die Me- diankante o des gebrochenen Pentagons zu kennen, welche durch Verlängerung der gebrochenen Oktae- derkante der 48-Flächner = [Formel 9] entsteht. Machen wir uns den Aufriß in der Würfelfläche, so geht die Mediankante o von a : die Kante o = a' : 3a' entgegen, daraus ergibt sich der Zonenpunkt p = ist, so muß ap : [Formel 15] , ap = [Formel 16] sein. Ebenso leicht findet man die gebrochene Würfelkante a' p = [Formel 17] . Verzeichnen wir uns also das Drei- eck adt des 48-Flächners, so ist die Kante ad = [Formel 18] , der Punkt t in der Würfelecke bleibt, folglich ver- längern wir ad über d um das Stück [Formel 19] hinaus, beschreiben wir nun mit ae = a' p um e und mit te um t Kreisbögen, so wird der Punkt e bestimmt, und das 2+1+1kantige Trapezoid a e t e, worin te = te = p ist gefunden. Netze. haben einen ſtumpfen Winkel wie oben 5 : 3, im ſcharfen Winkel dagegen5 : 5, folglich hat die 3kantige Tetraederecke rechte Winkel, wie die Rech- nung des Winkels lehrt. Ein etwas unerwartetes Verhältniß. Die ungleichſeitigen Dreiecke des Pyramidengranatoeders a : ⅓a : ½a [Abbildung]
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Perpendikel von der 2+2kantigen Pyramidenecke d auf dieBaſis der Granatoederkante at iſt. Denn die Pyramide erhebt ſich [Formel 2] über der Granatoederflache, die Kante des Granatoeders at = [Formel 3] , die gebrochene Oktaederkante ad = [Formel 4] . Uebrigens liegen die Dreiecke ſämmtlicher Pyramidengranatoeder zwiſchen den Dreiecken der Granatoederfläche von der Höhe [Formel 5] , und der Leuci- toederfläche von der Höhe [Formel 6] . Da nun beide bekannt ſind, ſo darf man nur ein beliebiges Zwiſchenſtück wählen, um ein Pyramidengrana- toeder zu bekommen, da ein jedes für die Anſchauung genügt. Wenn die Zahlen für die Conſtruktion etwas unbequem werden, wie beim ge- brochenen Pyramidentetraeder a : ⅓a : ½a, ſo darf ich in dieſem Falle nur das Dreieck des zugehörigen 48-Flächners hinzeichnen, die gebrochene Würfel- kante daran verlängern, und den Winkel an der gebrochenen Oktaeder- kante ſuchen, er iſt tg = [Formel 7] = 68° 50'. Trage ich dieſen mit dem Transporteur an das andere Ende der Granatoederkante an, ſo iſt das Dreieck gefunden. Das gewöhnliche Pyritoeder a : ½a : ∞a hat beiſtehende Diagonalen. Die Fläche des gebrochenen Pyritoeder pag. 69 a : ⅓a : ½ ent- [Abbildung]
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wickeln wir aus dem Dreieck des gleichnamigen48-Flächners, was wir kennen, wir brauchen dann außer der gebrochenen Würfelkante ω nur die Me- diankante o des gebrochenen Pentagons zu kennen, welche durch Verlängerung der gebrochenen Oktae- derkante der 48-Flächner = [Formel 9] entſteht. Machen wir uns den Aufriß in der Würfelfläche, ſo geht die Mediankante o von a : die Kante ω = a' : 3a' entgegen, daraus ergibt ſich der Zonenpunkt p = iſt, ſo muß ap : [Formel 15] , ap = [Formel 16] ſein. Ebenſo leicht findet man die gebrochene Würfelkante a' p = [Formel 17] . Verzeichnen wir uns alſo das Drei- eck adt des 48-Flächners, ſo iſt die Kante ad = [Formel 18] , der Punkt t in der Würfelecke bleibt, folglich ver- längern wir ad über d um das Stück [Formel 19] hinaus, beſchreiben wir nun mit ae = a' p um e und mit te um t Kreisbögen, ſo wird der Punkt ε beſtimmt, und das 2+1+1kantige Trapezoid a e t ε, worin te = tε = p iſt gefunden. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0084" n="72"/><fw place="top" type="header">Netze.</fw><lb/> haben einen ſtumpfen Winkel wie oben 5 : 3, im ſcharfen Winkel dagegen<lb/> 5 : 5, folglich hat die 3kantige Tetraederecke rechte Winkel, wie die Rech-<lb/> nung des Winkels lehrt. 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Netze.
haben einen ſtumpfen Winkel wie oben 5 : 3, im ſcharfen Winkel dagegen
5 : 5, folglich hat die 3kantige Tetraederecke rechte Winkel, wie die Rech-
nung des Winkels lehrt. Ein etwas unerwartetes Verhältniß.
Die ungleichſeitigen Dreiecke des Pyramidengranatoeders a : ⅓a : ½a
pag. 63 ſind durch drei Linien b : c : p = 1 : ½ : ⅕ [FORMEL] gegeben, worin p das
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Perpendikel von der 2+2kantigen Pyramidenecke d auf die
Baſis der Granatoederkante at iſt. Denn die Pyramide erhebt
ſich [FORMEL] über der Granatoederflache,
die Kante des Granatoeders at = [FORMEL], die gebrochene
Oktaederkante ad = [FORMEL]. Uebrigens liegen die Dreiecke
ſämmtlicher Pyramidengranatoeder zwiſchen den Dreiecken
der Granatoederfläche von der Höhe [FORMEL], und der Leuci-
toederfläche von der Höhe [FORMEL]. Da nun beide bekannt ſind, ſo darf
man nur ein beliebiges Zwiſchenſtück wählen, um ein Pyramidengrana-
toeder zu bekommen, da ein jedes für die Anſchauung genügt. Wenn
die Zahlen für die Conſtruktion etwas unbequem werden, wie beim ge-
brochenen Pyramidentetraeder a : ⅓a : ½a, ſo darf ich in dieſem Falle nur
das Dreieck des zugehörigen 48-Flächners hinzeichnen, die gebrochene Würfel-
kante daran verlängern, und den Winkel an der gebrochenen Oktaeder-
kante ſuchen, er iſt tg = [FORMEL] = 68° 50'. Trage ich dieſen mit dem
Transporteur an das andere Ende der Granatoederkante an, ſo iſt das
Dreieck gefunden.
Das gewöhnliche Pyritoeder a : ½a : ∞a hat beiſtehende Diagonalen.
[Abbildung]
2 : [FORMEL] ſind bereits durch den zugehörigen Pyramiden-
würfel beſtimmt, die übrigen Linien finde ich leicht, indem
ich nur einen Aufriß durch 4 Pyramidenecken lege.
Die Fläche des gebrochenen Pyritoeder pag. 69 a : ⅓a : ½ ent-
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wickeln wir aus dem Dreieck des gleichnamigen
48-Flächners, was wir kennen, wir brauchen dann
außer der gebrochenen Würfelkante ω nur die Me-
diankante o des gebrochenen Pentagons zu kennen,
welche durch Verlängerung der gebrochenen Oktae-
derkante der 48-Flächner = [FORMEL] entſteht. Machen
wir uns den Aufriß in der Würfelfläche, ſo geht
die Mediankante o von a : [FORMEL]a, ihr kommt von unten
die Kante ω = a' : 3a' entgegen, daraus ergibt ſich
der Zonenpunkt p = [FORMEL]a + [FORMEL]a, da Kante a [FORMEL]a = [FORMEL]
iſt, ſo muß ap : [FORMEL], ap = [FORMEL] ſein.
Ebenſo leicht findet man die gebrochene Würfelkante
a' p = [FORMEL]. Verzeichnen wir uns alſo das Drei-
eck adt des 48-Flächners, ſo iſt die Kante ad = [FORMEL],
der Punkt t in der Würfelecke bleibt, folglich ver-
längern wir ad über d um das Stück [FORMEL] hinaus,
beſchreiben wir nun mit ae = a' p um e und mit te um t Kreisbögen, ſo
wird der Punkt ε beſtimmt, und das 2+1+1kantige Trapezoid a e t ε,
worin te = tε = p iſt gefunden.
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