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Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 2. Berlin, Wien, 1912.

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angedeutet werden. Denkt man sich in der Verbindungslinie der beiden Kämpferpunkte zwei nach innen gerichtete Kräfte von der Größe = 1 wirksam (Abb. 245), so werden diese in den sämtlichen Stabgliedern Spannungen u hervorrufen, die sich ohne Schwierigkeit ermitteln lassen. Tatsächlich wirkt an den Kämpfern die Horizontalkraft H; die von ihr erzeugten Spannungen werden daher Hu. Diese treten zu den Spannungen S hinzu, die durch die äußere Belastung in dem statisch bestimmten System entstehen, d. i. wenn H = 0, d. h. wenn der Bogen horizontal verschiebbar gelagert wäre. S sind sonach die Spannungen in dem als Balkenträger


Abb. 245.
aufgefaßten Fachwerk und es werden hiermit die Spannungen im Bogenfachwerk
    37)

Infolge dieser Spannungen finden elastische Längenänderungen in den Stabgliedern statt, die sich bei der Querschnittsfläche F und der Länge s eines Stabes, ferner dem Elastizitätskoeffizienten E mit

berechnen, wenn zur Abkürzung r = s/F gesetzt wird. Wird angenommen, daß sich die Kämpfer etwas unter der Belastung verschieben, wodurch sich die Spannweite um Dl vergrößere, so muß nach dem Satz von der Gleichheit der virtuellen Verrückungen, die Arbeit der Kräfte 1 gleich jener der von ihnen hervorgerufenen Spannungen u sein, also

Mit der Substitution von S aus Gleichung 37) und Reduktion auf H folgt schließlich
    38)

In anderer Form wird H auch durch folgende Betrachtung erhalten: Wir denken uns das Bogenfachwerk als Balkenträger in einem Auflager wagrecht verschieblich und bezeichnen die Verschiebung dieses Auflagers

infolge einer Last 1, in einem beliebigen Punkt M des Bogens wirkend, mit dma

infolge der Last Pm in diesem Punkte sonach mit Pmdma

infolge einer in der Richtung der Kämpfersehne auf das bewegliche Auflager wirkender Kraft 1 mit daa

sonach infolge der Kraft H mit Hdaa.

Die wirkliche gegenseitige Verschiebung der Kämpfer des Bogenträgers, infolge eines Hinausschiebens der Widerlager, wurde mit - Dl bezeichnet. Diese muß sich als Ergebnis der Wirkungen sämtlicher Lasten P und der Kraft H herausstellen, sonach ist

woraus
    39)

Die beiden Ausdrücke 38 und 39 für H sind natürlich identisch und es ist

Gleichung 38 dient zur rechnerischen Ermittlung von H, während Gleichung 39 zu einer graphischen Bestimmung der Einflußlinie verhilft. Wirkt nämlich blos eine einzige Last P im Punkte M und ist Dl = o, so ist

Die Verschiebungsgrößen dma und daa sind aber graphisch erhältlich. Nach dem Satze über die Gegenseitigkeit der Verschiebungen (Maxwell) ist nämlich dma = dam, d. h. die Horizontalverschiebung des Auflagers durch eine Kraft 1 in M ist gleich der lotrechten Verschiebung von M infolge einer Horizontalkraft 1 im Auflager. Diese lotrechten Verschiebungen werden durch die Biegungslinie des Fachwerks für H = 1 erhalten und es gibt diese Biegungslinie schon die Einflußlinie für H, wenn die Lastgröße durch daa dargestellt wird. Die Biegungslinie eines Fachwerks kann durch Zeichnung eines Verschiebungsplanes (Williotplanes) oder als Seileck aus den Winkeländerungen des Fachwerks erhalten werden (s. Durchbiegung).

Kennt man H, so sind durch Gleichung 37) auch die Spannungen S bestimmt und man kann auch deren Einflußlinien darstellen. Die Wirkung einer Temperaturänderung um t° ergibt sich aus
    40)

Zur Berechnung des statisch unbestimmten Fachwerksbogens ist eine vorläufige Annahme der Querschnittsflächen der Stäbe notwendig. Man kann sich in der Regel bei der ersten Annäherung damit begnügen, bloß die Formänderungen der Gurtungsstäbe zu berücksichtigen und kann jene der Gitterstäbe vernachlässigen. Es genügt auch, für die erste Berechnung die Gurtquerschnittsflächen konstant und im Ober- und Untergurt gleich groß anzunehmen.

angedeutet werden. Denkt man sich in der Verbindungslinie der beiden Kämpferpunkte zwei nach innen gerichtete Kräfte von der Größe = 1 wirksam (Abb. 245), so werden diese in den sämtlichen Stabgliedern Spannungen u hervorrufen, die sich ohne Schwierigkeit ermitteln lassen. Tatsächlich wirkt an den Kämpfern die Horizontalkraft H; die von ihr erzeugten Spannungen werden daher Hu. Diese treten zu den Spannungen S hinzu, die durch die äußere Belastung in dem statisch bestimmten System entstehen, d. i. wenn H = 0, d. h. wenn der Bogen horizontal verschiebbar gelagert wäre. S sind sonach die Spannungen in dem als Balkenträger


Abb. 245.
aufgefaßten Fachwerk und es werden hiermit die Spannungen im Bogenfachwerk
    37)

Infolge dieser Spannungen finden elastische Längenänderungen in den Stabgliedern statt, die sich bei der Querschnittsfläche F und der Länge s eines Stabes, ferner dem Elastizitätskoeffizienten E mit

berechnen, wenn zur Abkürzung r = s/F gesetzt wird. Wird angenommen, daß sich die Kämpfer etwas unter der Belastung verschieben, wodurch sich die Spannweite um Δl vergrößere, so muß nach dem Satz von der Gleichheit der virtuellen Verrückungen, die Arbeit der Kräfte 1 gleich jener der von ihnen hervorgerufenen Spannungen u sein, also

Mit der Substitution von S aus Gleichung 37) und Reduktion auf H folgt schließlich
    38)

In anderer Form wird H auch durch folgende Betrachtung erhalten: Wir denken uns das Bogenfachwerk als Balkenträger in einem Auflager wagrecht verschieblich und bezeichnen die Verschiebung dieses Auflagers

infolge einer Last 1, in einem beliebigen Punkt M des Bogens wirkend, mit δma

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infolge einer in der Richtung der Kämpfersehne auf das bewegliche Auflager wirkender Kraft 1 mit δaa

sonach infolge der Kraft H mit Hδaa.

Die wirkliche gegenseitige Verschiebung der Kämpfer des Bogenträgers, infolge eines Hinausschiebens der Widerlager, wurde mit – Δl bezeichnet. Diese muß sich als Ergebnis der Wirkungen sämtlicher Lasten P und der Kraft H herausstellen, sonach ist

woraus
    39)

Die beiden Ausdrücke 38 und 39 für H sind natürlich identisch und es ist

Gleichung 38 dient zur rechnerischen Ermittlung von H, während Gleichung 39 zu einer graphischen Bestimmung der Einflußlinie verhilft. Wirkt nämlich blos eine einzige Last P im Punkte M und ist Δl = o, so ist

Die Verschiebungsgrößen δma und δaa sind aber graphisch erhältlich. Nach dem Satze über die Gegenseitigkeit der Verschiebungen (Maxwell) ist nämlich δma = δam, d. h. die Horizontalverschiebung des Auflagers durch eine Kraft 1 in M ist gleich der lotrechten Verschiebung von M infolge einer Horizontalkraft 1 im Auflager. Diese lotrechten Verschiebungen werden durch die Biegungslinie des Fachwerks für H = 1 erhalten und es gibt diese Biegungslinie schon die Einflußlinie für H, wenn die Lastgröße durch δaa dargestellt wird. Die Biegungslinie eines Fachwerks kann durch Zeichnung eines Verschiebungsplanes (Williotplanes) oder als Seileck aus den Winkeländerungen des Fachwerks erhalten werden (s. Durchbiegung).

Kennt man H, so sind durch Gleichung 37) auch die Spannungen S bestimmt und man kann auch deren Einflußlinien darstellen. Die Wirkung einer Temperaturänderung um t° ergibt sich aus
    40)

Zur Berechnung des statisch unbestimmten Fachwerksbogens ist eine vorläufige Annahme der Querschnittsflächen der Stäbe notwendig. Man kann sich in der Regel bei der ersten Annäherung damit begnügen, bloß die Formänderungen der Gurtungsstäbe zu berücksichtigen und kann jene der Gitterstäbe vernachlässigen. Es genügt auch, für die erste Berechnung die Gurtquerschnittsflächen konstant und im Ober- und Untergurt gleich groß anzunehmen. 

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[453/0465] angedeutet werden. Denkt man sich in der Verbindungslinie der beiden Kämpferpunkte zwei nach innen gerichtete Kräfte von der Größe = 1 wirksam (Abb. 245), so werden diese in den sämtlichen Stabgliedern Spannungen u hervorrufen, die sich ohne Schwierigkeit ermitteln lassen. Tatsächlich wirkt an den Kämpfern die Horizontalkraft H; die von ihr erzeugten Spannungen werden daher Hu. Diese treten zu den Spannungen S hinzu, die durch die äußere Belastung in dem statisch bestimmten System entstehen, d. i. wenn H = 0, d. h. wenn der Bogen horizontal verschiebbar gelagert wäre. S sind sonach die Spannungen in dem als Balkenträger [Abbildung Abb. 245. ] aufgefaßten Fachwerk und es werden hiermit die Spannungen im Bogenfachwerk [FORMEL] 37) Infolge dieser Spannungen finden elastische Längenänderungen in den Stabgliedern statt, die sich bei der Querschnittsfläche F und der Länge s eines Stabes, ferner dem Elastizitätskoeffizienten E mit [FORMEL] berechnen, wenn zur Abkürzung r = s/F gesetzt wird. Wird angenommen, daß sich die Kämpfer etwas unter der Belastung verschieben, wodurch sich die Spannweite um Δl vergrößere, so muß nach dem Satz von der Gleichheit der virtuellen Verrückungen, die Arbeit der Kräfte 1 gleich jener der von ihnen hervorgerufenen Spannungen u sein, also [FORMEL] Mit der Substitution von S aus Gleichung 37) und Reduktion auf H folgt schließlich [FORMEL] 38) In anderer Form wird H auch durch folgende Betrachtung erhalten: Wir denken uns das Bogenfachwerk als Balkenträger in einem Auflager wagrecht verschieblich und bezeichnen die Verschiebung dieses Auflagers infolge einer Last 1, in einem beliebigen Punkt M des Bogens wirkend, mit δma infolge der Last Pm in diesem Punkte sonach mit Pmδma infolge einer in der Richtung der Kämpfersehne auf das bewegliche Auflager wirkender Kraft 1 mit δaa sonach infolge der Kraft H mit Hδaa. Die wirkliche gegenseitige Verschiebung der Kämpfer des Bogenträgers, infolge eines Hinausschiebens der Widerlager, wurde mit – Δl bezeichnet. Diese muß sich als Ergebnis der Wirkungen sämtlicher Lasten P und der Kraft H herausstellen, sonach ist [FORMEL] woraus [FORMEL] 39) Die beiden Ausdrücke 38 und 39 für H sind natürlich identisch und es ist [FORMEL] Gleichung 38 dient zur rechnerischen Ermittlung von H, während Gleichung 39 zu einer graphischen Bestimmung der Einflußlinie verhilft. Wirkt nämlich blos eine einzige Last P im Punkte M und ist Δl = o, so ist [FORMEL] Die Verschiebungsgrößen δma und δaa sind aber graphisch erhältlich. Nach dem Satze über die Gegenseitigkeit der Verschiebungen (Maxwell) ist nämlich δma = δam, d. h. die Horizontalverschiebung des Auflagers durch eine Kraft 1 in M ist gleich der lotrechten Verschiebung von M infolge einer Horizontalkraft 1 im Auflager. Diese lotrechten Verschiebungen werden durch die Biegungslinie des Fachwerks für H = 1 erhalten und es gibt diese Biegungslinie schon die Einflußlinie für H, wenn die Lastgröße durch δaa dargestellt wird. Die Biegungslinie eines Fachwerks kann durch Zeichnung eines Verschiebungsplanes (Williotplanes) oder als Seileck aus den Winkeländerungen des Fachwerks erhalten werden (s. Durchbiegung). Kennt man H, so sind durch Gleichung 37) auch die Spannungen S bestimmt und man kann auch deren Einflußlinien darstellen. Die Wirkung einer Temperaturänderung um t° ergibt sich aus [FORMEL] 40) Zur Berechnung des statisch unbestimmten Fachwerksbogens ist eine vorläufige Annahme der Querschnittsflächen der Stäbe notwendig. Man kann sich in der Regel bei der ersten Annäherung damit begnügen, bloß die Formänderungen der Gurtungsstäbe zu berücksichtigen und kann jene der Gitterstäbe vernachlässigen. Es genügt auch, für die erste Berechnung die Gurtquerschnittsflächen konstant und im Ober- und Untergurt gleich groß anzunehmen.

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Zitationshilfe: Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 2. Berlin, Wien, 1912, S. 453. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/roell_eisenbahnwesen02_1912/465>, abgerufen am 16.07.2024.