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Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 3. Berlin, Wien, 1912.

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nm und vm + 1 und eine horizontale lm und lm + 1, die Winkel dieser Gurtstäbe gegen die Wagrechte sind gm und gm + 1 (positiv, wenn der Gurtstab unter der Wagrechten, welche durch das linke Stabende gezogen wird, liegt).

Die Senkungen der Knotenpunkte seien dm und dm + 1.

Dann ist

wobei

Faßt man die Ausdrücke

als Einzellasten auf, welche in den Knotenpunkten eines einfachen Trägers wirken, so gibt das mit diesen Einzellasten gezeichnete Momentenvieleck das Biegungsvieleck der unteren Gurtung.

b) Für die obere Gurtung erhält man ähnlich die Gleichung

Treten am ersten und letzten Knotenpunkt senkrechte Verschiebungen auf, so sind diese als Ordinaten in dem gezeichneten Momentenvieleck nach aufwärts aufzutragen und gibt die Verbindungslinie die Schlußlinie, von welcher die senkrechten Abstände des Vielecks an den Knoten zu messen sind.

Bei Fachwerken (wo eine Lage der Streben senkrecht ist) kann das Biegungsvieleck der oberen Gurtung leicht gefunden werden, indem man von der Senkung der unteren Knotenpunkte die Änderung der entsprechenden Vertikalen abzieht, d. h. d0 = du - D h.

B. Zeichnerischer Weg.

Hierbei kann man sich zweier Methoden bedienen:

1. Die Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe eines aus den elastischen Gewichten der Winkeländerungen gezeichneten Krafteckes.

2. Die Ermittlung der Biegelinie aus den Verschiebungsplänen, auch Williotsches Verfahren benannt.

Zu 1. Bei der zeichnerischen Ermittlung der Winkeländerungen muß man alle Randwinkel im Zuge des Ober- oder Untergurtes berücksichtigen, je nachdem für welche Knotenpunkte die D. gesucht werden soll. Alle Änderungen dieser Randwinkel setzen sich aus den Änderungen der Einzelwinkel zusammen.

Die Winkeländerung kann nach verschiedenen Verfahren zeichnerisch ermittelt werden. Ein Verfahren besteht in folgendem:

Sind die Längen der Dreieckseiten abc, die Winkel a, b, g und die drei Höhen ra, rb, rc, so lassen sich die einzelnen Seiten als trigonometrische Funktionen der Winkel und anderen Dreieckseiten ausdrücken. a = b. cos g + c. cos b (Abb. 322) a + b + g = p; durch totale Differenzierung der


Abb. 322.
ersten Gleichung erhält man Da = D b. cos g + D c. cos b - b. sin g D - c. sin b. D b. Ferners muß D a + D b+ D g = 0 und b. sin g = c sin b = ra, daher
Da = D b. cos g + D c cos b + ra D a., und

der Zähler dieses Ausdruckes stellt vor die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Dreieckseiten auf die Seite a; Da = Da`/ra. Zur Konstruktion dieses Ausdruckes geht man so vor, daß man von dem Eckpunkte des Dreieckes ausgeht, dessen Winkeländerung ermittelt werden soll, etwa A (Abb. 322), umfährt den Dreiecksumfang im Sinne des Uhrzeigers und reiht nun die Längenänderungen der einzelnen Stäbe durch Einzeichnen von Parallelen zu den betrachteten Seiten derart aneinander an, daß man Verlängerungen als + Werte in demselben Umfahrungssinne (Da, Db), Verkürzungen als (-) Werte im entgegengesetzten Umfahrungssinne aufträgt (Dc), in welchem man die angehörigen Seiten durchfährt. Dadurch erhält man einen Endpunkt N. Diesen Endpunkt projiziert man auf die Seite a und erhält den Punkt E. Es stellt daher DE = a` die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Seiten auf a vor. Diese Größen sind + oder (-), wenn sie sich, von A aus betrachtet, von den Fußpunkten der Höhen aus nach rechts oder links erstrecken. In unserem Falle ist Da positiv. Da nun für die verschiedenen Dreieckswinkel auch verschieden große Höhen vorliegen, so bringt man sämtliche Winkeländerungen auf eine gemeinsame Grundlänge r, um die dadurch ermittelten Größen gleich als elastische Gewichte in das Krafteck übertragen zu können. Man trägt daher auf allen Dreieckshöhen ein und dasselbe Maß r auf, etwa AF = r, verbindet A mit dem

νm und vm + 1 und eine horizontale λm und λm + 1, die Winkel dieser Gurtstäbe gegen die Wagrechte sind γm und γm + 1 (positiv, wenn der Gurtstab unter der Wagrechten, welche durch das linke Stabende gezogen wird, liegt).

Die Senkungen der Knotenpunkte seien δm und δm + 1.

Dann ist

wobei

Faßt man die Ausdrücke

als Einzellasten auf, welche in den Knotenpunkten eines einfachen Trägers wirken, so gibt das mit diesen Einzellasten gezeichnete Momentenvieleck das Biegungsvieleck der unteren Gurtung.

β) Für die obere Gurtung erhält man ähnlich die Gleichung

Treten am ersten und letzten Knotenpunkt senkrechte Verschiebungen auf, so sind diese als Ordinaten in dem gezeichneten Momentenvieleck nach aufwärts aufzutragen und gibt die Verbindungslinie die Schlußlinie, von welcher die senkrechten Abstände des Vielecks an den Knoten zu messen sind.

Bei Fachwerken (wo eine Lage der Streben senkrecht ist) kann das Biegungsvieleck der oberen Gurtung leicht gefunden werden, indem man von der Senkung der unteren Knotenpunkte die Änderung der entsprechenden Vertikalen abzieht, d. h. δ0 = δu – Δ h.

B. Zeichnerischer Weg.

Hierbei kann man sich zweier Methoden bedienen:

1. Die Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe eines aus den elastischen Gewichten der Winkeländerungen gezeichneten Krafteckes.

2. Die Ermittlung der Biegelinie aus den Verschiebungsplänen, auch Williotsches Verfahren benannt.

Zu 1. Bei der zeichnerischen Ermittlung der Winkeländerungen muß man alle Randwinkel im Zuge des Ober- oder Untergurtes berücksichtigen, je nachdem für welche Knotenpunkte die D. gesucht werden soll. Alle Änderungen dieser Randwinkel setzen sich aus den Änderungen der Einzelwinkel zusammen.

Die Winkeländerung kann nach verschiedenen Verfahren zeichnerisch ermittelt werden. Ein Verfahren besteht in folgendem:

Sind die Längen der Dreieckseiten abc, die Winkel α, β, γ und die drei Höhen ra, rb, rc, so lassen sich die einzelnen Seiten als trigonometrische Funktionen der Winkel und anderen Dreieckseiten ausdrücken. a = b. cos γ + c. cos β (Abb. 322) α + β + γ = π; durch totale Differenzierung der


Abb. 322.
ersten Gleichung erhält man Δa = Δ b. cos γ + Δ c. cos β – b. sin γ Δ – c. sin β. Δ β. Ferners muß Δ α + Δ β+ Δ γ = 0 und b. sin γ = c sin β = ra, daher
Δa = Δ b. cos γ + Δ c cos β + ra Δ α., und

der Zähler dieses Ausdruckes stellt vor die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Dreieckseiten auf die Seite a; Δα = Δa‵/ra. Zur Konstruktion dieses Ausdruckes geht man so vor, daß man von dem Eckpunkte des Dreieckes ausgeht, dessen Winkeländerung ermittelt werden soll, etwa A (Abb. 322), umfährt den Dreiecksumfang im Sinne des Uhrzeigers und reiht nun die Längenänderungen der einzelnen Stäbe durch Einzeichnen von Parallelen zu den betrachteten Seiten derart aneinander an, daß man Verlängerungen als + Werte in demselben Umfahrungssinne (Δa, Δb), Verkürzungen als (–) Werte im entgegengesetzten Umfahrungssinne aufträgt (Δc), in welchem man die angehörigen Seiten durchfährt. Dadurch erhält man einen Endpunkt N. Diesen Endpunkt projiziert man auf die Seite a und erhält den Punkt E. Es stellt daher DE = a‵ die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Seiten auf a vor. Diese Größen sind + oder (–), wenn sie sich, von A aus betrachtet, von den Fußpunkten der Höhen aus nach rechts oder links erstrecken. In unserem Falle ist Δa positiv. Da nun für die verschiedenen Dreieckswinkel auch verschieden große Höhen vorliegen, so bringt man sämtliche Winkeländerungen auf eine gemeinsame Grundlänge r, um die dadurch ermittelten Größen gleich als elastische Gewichte in das Krafteck übertragen zu können. Man trägt daher auf allen Dreieckshöhen ein und dasselbe Maß r auf, etwa AF = r, verbindet A mit dem 

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[455/0473] νm und vm + 1 und eine horizontale λm und λm + 1, die Winkel dieser Gurtstäbe gegen die Wagrechte sind γm und γm + 1 (positiv, wenn der Gurtstab unter der Wagrechten, welche durch das linke Stabende gezogen wird, liegt). Die Senkungen der Knotenpunkte seien δm und δm + 1. Dann ist [FORMEL] wobei [FORMEL] Faßt man die Ausdrücke [FORMEL] als Einzellasten auf, welche in den Knotenpunkten eines einfachen Trägers wirken, so gibt das mit diesen Einzellasten gezeichnete Momentenvieleck das Biegungsvieleck der unteren Gurtung. β) Für die obere Gurtung erhält man ähnlich die Gleichung [FORMEL] Treten am ersten und letzten Knotenpunkt senkrechte Verschiebungen auf, so sind diese als Ordinaten in dem gezeichneten Momentenvieleck nach aufwärts aufzutragen und gibt die Verbindungslinie die Schlußlinie, von welcher die senkrechten Abstände des Vielecks an den Knoten zu messen sind. Bei Fachwerken (wo eine Lage der Streben senkrecht ist) kann das Biegungsvieleck der oberen Gurtung leicht gefunden werden, indem man von der Senkung der unteren Knotenpunkte die Änderung der entsprechenden Vertikalen abzieht, d. h. δ0 = δu – Δ h. B. Zeichnerischer Weg. Hierbei kann man sich zweier Methoden bedienen: 1. Die Ermittlung der Biegelinie mit Hilfe eines aus den elastischen Gewichten der Winkeländerungen gezeichneten Krafteckes. 2. Die Ermittlung der Biegelinie aus den Verschiebungsplänen, auch Williotsches Verfahren benannt. Zu 1. Bei der zeichnerischen Ermittlung der Winkeländerungen muß man alle Randwinkel im Zuge des Ober- oder Untergurtes berücksichtigen, je nachdem für welche Knotenpunkte die D. gesucht werden soll. Alle Änderungen dieser Randwinkel setzen sich aus den Änderungen der Einzelwinkel zusammen. Die Winkeländerung kann nach verschiedenen Verfahren zeichnerisch ermittelt werden. Ein Verfahren besteht in folgendem: Sind die Längen der Dreieckseiten abc, die Winkel α, β, γ und die drei Höhen ra, rb, rc, so lassen sich die einzelnen Seiten als trigonometrische Funktionen der Winkel und anderen Dreieckseiten ausdrücken. a = b. cos γ + c. cos β (Abb. 322) α + β + γ = π; durch totale Differenzierung der [Abbildung Abb. 322. ] ersten Gleichung erhält man Δa = Δ b. cos γ + Δ c. cos β – b. sin γ Δ – c. sin β. Δ β. Ferners muß Δ α + Δ β+ Δ γ = 0 und b. sin γ = c sin β = ra, daher Δa = Δ b. cos γ + Δ c cos β + ra Δ α., und [FORMEL] der Zähler dieses Ausdruckes stellt vor die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Dreieckseiten auf die Seite a; Δα = Δa‵/ra. Zur Konstruktion dieses Ausdruckes geht man so vor, daß man von dem Eckpunkte des Dreieckes ausgeht, dessen Winkeländerung ermittelt werden soll, etwa A (Abb. 322), umfährt den Dreiecksumfang im Sinne des Uhrzeigers und reiht nun die Längenänderungen der einzelnen Stäbe durch Einzeichnen von Parallelen zu den betrachteten Seiten derart aneinander an, daß man Verlängerungen als + Werte in demselben Umfahrungssinne (Δa, Δb), Verkürzungen als (–) Werte im entgegengesetzten Umfahrungssinne aufträgt (Δc), in welchem man die angehörigen Seiten durchfährt. Dadurch erhält man einen Endpunkt N. Diesen Endpunkt projiziert man auf die Seite a und erhält den Punkt E. Es stellt daher DE = a‵ die Projektion der algebraischen Summe der Längenänderungen aller drei Seiten auf a vor. Diese Größen sind + oder (–), wenn sie sich, von A aus betrachtet, von den Fußpunkten der Höhen aus nach rechts oder links erstrecken. In unserem Falle ist Δa positiv. Da nun für die verschiedenen Dreieckswinkel auch verschieden große Höhen vorliegen, so bringt man sämtliche Winkeländerungen auf eine gemeinsame Grundlänge r, um die dadurch ermittelten Größen gleich als elastische Gewichte in das Krafteck übertragen zu können. Man trägt daher auf allen Dreieckshöhen ein und dasselbe Maß r auf, etwa AF = r, verbindet A mit dem

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Zitationshilfe: Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 3. Berlin, Wien, 1912, S. 455. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/roell_eisenbahnwesen03_1912/473>, abgerufen am 01.11.2024.