halten ist, dass aber diese letztere noch über sie hinausragt (b "over- laps" a) und demnach b auch noch anderes ausser a (wie ja z. B. die Klasse "Silber") enthalten wird.
Stellen wir uns dagegen durch Kreisflächen a und b die Klassen "Kochsalz" und "Chlornatrium" dar, so wird die zwischen beiden Klassen bestehende Beziehung: a = b versinnlicht durch die Fig. 2, in welcher beide Kreise ersichtlich in einen einzigen zusammenfallen.
Die Subsumtion ab aber, welche, wie wir sahen, den Sinn des kategorischen Urteils "a ist b" im allgemeinen wiedergibt, wird zu ver- anschaulichen sein durch den Hinweis darauf, dass von den beiden durch die Fig. 1 und die Fig. 2 dargestellten Fällen irgend einer (der eine oder aber der andere) stattfinde.
Man kann sich -- im ersten Falle -- geradezu die Kreisfläche a mit allen Goldteilchen, "Goldatomen" der Welt belegt denken, sodass jeder Punkt dieser Fläche der Träger eines Goldatomes ist, und den a umgebenden ringförmigen Teil der Kreisfläche b mit den Atomen aller übrigen Metalle (ausser Gold), die sich im Weltall vorfinden. Und analog könnte man -- im zweiten Falle -- mit den "Kochsalzmole- külen" verfahren.
Wir könnten -- im ersten Falle -- sagen: man denke sich die Kreis- fläche a ganz einfach "vergoldet", wenn nicht bei der "Vergoldung" im Sinne der atomistischen Hypothese den Goldatomen gewisse Abstände vor- geschrieben wären, die sie nicht zu unterschreiten vermögen, über die hin- aus sie einander sich nicht nähern können, sodass wir sie auf der kleinen Fläche füglich nicht alle unterzubringen vermöchten. Emanzipiren wir uns aber von der Forderung, solche durch die Temperatur und Dichte des Ver- goldungsmaterials, eventuell die Grösse der Atome bestimmte Abstände einzuhalten, so steht der geforderten ideellen Zuordnung nichts mehr im Wege, da wir ja über unbegrenzt viele mathematische Punkte in der Kreis- fläche a verfügen, welche eine Mannigfaltigkeit "der zweiten Art" im Sinne Georg Cantor's bilden.*
Wir gehen aber sofort noch einen erheblichen Schritt weiter, über die bisherige Praxis der Verwendung Euler'scher Diagramme hinaus, indem wir die Beziehungen zwischen "Sphären" oder Punktgebieten des
* Die Ausführbarkeit gedachter Zuordnung würde sich nach des letzteru Untersuchungen über die "Mannigfaltigkeitslehre" streng mathematisch beweisen lassen, wie viel Gold und Metall es auch im Weltall geben mag, ja, wenn der ganze Raum damit erfüllt wäre. Man kann nach den einschlägigen Untersuchungs- ergebnissen (Borchardt's Journal Bd. 84) den ganzen Raum schon auf einer be- grenzten Linie oder Strecke ein-eindeutig abbilden, so, dass jedem Punkt des einen immer ein Punkt und nur ein Punkt der andern, und umgekehrt, entspricht. Vergl. hiezu auch Arbeiten von J. Lüroth, E. Jürgens, u. A.
Erste Vorlesung.
halten ist, dass aber diese letztere noch über sie hinausragt (b „over- laps“ a) und demnach b auch noch anderes ausser a (wie ja z. B. die Klasse „Silber“) enthalten wird.
Stellen wir uns dagegen durch Kreisflächen a und b die Klassen „Kochsalz“ und „Chlornatrium“ dar, so wird die zwischen beiden Klassen bestehende Beziehung: a = b versinnlicht durch die Fig. 2, in welcher beide Kreise ersichtlich in einen einzigen zusammenfallen.
Die Subsumtion a ⋹ b aber, welche, wie wir sahen, den Sinn des kategorischen Urteils „a ist b“ im allgemeinen wiedergibt, wird zu ver- anschaulichen sein durch den Hinweis darauf, dass von den beiden durch die Fig. 1 und die Fig. 2 dargestellten Fällen irgend einer (der eine oder aber der andere) stattfinde.
Man kann sich — im ersten Falle — geradezu die Kreisfläche a mit allen Goldteilchen, „Goldatomen“ der Welt belegt denken, sodass jeder Punkt dieser Fläche der Träger eines Goldatomes ist, und den a umgebenden ringförmigen Teil der Kreisfläche b mit den Atomen aller übrigen Metalle (ausser Gold), die sich im Weltall vorfinden. Und analog könnte man — im zweiten Falle — mit den „Kochsalzmole- külen“ verfahren.
Wir könnten — im ersten Falle — sagen: man denke sich die Kreis- fläche a ganz einfach „vergoldet“, wenn nicht bei der „Vergoldung“ im Sinne der atomistischen Hypothese den Goldatomen gewisse Abstände vor- geschrieben wären, die sie nicht zu unterschreiten vermögen, über die hin- aus sie einander sich nicht nähern können, sodass wir sie auf der kleinen Fläche füglich nicht alle unterzubringen vermöchten. Emanzipiren wir uns aber von der Forderung, solche durch die Temperatur und Dichte des Ver- goldungsmaterials, eventuell die Grösse der Atome bestimmte Abstände einzuhalten, so steht der geforderten ideellen Zuordnung nichts mehr im Wege, da wir ja über unbegrenzt viele mathematische Punkte in der Kreis- fläche a verfügen, welche eine Mannigfaltigkeit „der zweiten Art“ im Sinne Georg Cantor's bilden.*
Wir gehen aber sofort noch einen erheblichen Schritt weiter, über die bisherige Praxis der Verwendung Euler'scher Diagramme hinaus, indem wir die Beziehungen zwischen „Sphären“ oder Punktgebieten des
* Die Ausführbarkeit gedachter Zuordnung würde sich nach des letzteru Untersuchungen über die „Mannigfaltigkeitslehre“ streng mathematisch beweisen lassen, wie viel Gold und Metall es auch im Weltall geben mag, ja, wenn der ganze Raum damit erfüllt wäre. Man kann nach den einschlägigen Untersuchungs- ergebnissen (Borchardt's Journal Bd. 84) den ganzen Raum schon auf einer be- grenzten Linie oder Strecke ein-eindeutig abbilden, so, dass jedem Punkt des einen immer ein Punkt und nur ein Punkt der andern, und umgekehrt, entspricht. Vergl. hiezu auch Arbeiten von J. Lüroth, E. Jürgens, u. A.
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Erste Vorlesung.
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laps“ a) und demnach b auch noch anderes ausser a (wie ja z. B. die
Klasse „Silber“) enthalten wird.
Stellen wir uns dagegen durch Kreisflächen a und b die Klassen
„Kochsalz“ und „Chlornatrium“ dar, so wird die zwischen beiden
Klassen bestehende Beziehung: a = b versinnlicht durch die Fig. 2, in
welcher beide Kreise ersichtlich in einen einzigen zusammenfallen.
Die Subsumtion a ⋹ b aber, welche, wie wir sahen, den Sinn des
kategorischen Urteils „a ist b“ im allgemeinen wiedergibt, wird zu ver-
anschaulichen sein durch den Hinweis darauf, dass von den beiden
durch die Fig. 1 und die Fig. 2 dargestellten Fällen irgend einer (der
eine oder aber der andere) stattfinde.
Man kann sich — im ersten Falle — geradezu die Kreisfläche a
mit allen Goldteilchen, „Goldatomen“ der Welt belegt denken, sodass
jeder Punkt dieser Fläche der Träger eines Goldatomes ist, und den a
umgebenden ringförmigen Teil der Kreisfläche b mit den Atomen aller
übrigen Metalle (ausser Gold), die sich im Weltall vorfinden. Und
analog könnte man — im zweiten Falle — mit den „Kochsalzmole-
külen“ verfahren.
Wir könnten — im ersten Falle — sagen: man denke sich die Kreis-
fläche a ganz einfach „vergoldet“, wenn nicht bei der „Vergoldung“ im
Sinne der atomistischen Hypothese den Goldatomen gewisse Abstände vor-
geschrieben wären, die sie nicht zu unterschreiten vermögen, über die hin-
aus sie einander sich nicht nähern können, sodass wir sie auf der kleinen
Fläche füglich nicht alle unterzubringen vermöchten. Emanzipiren wir uns
aber von der Forderung, solche durch die Temperatur und Dichte des Ver-
goldungsmaterials, eventuell die Grösse der Atome bestimmte Abstände
einzuhalten, so steht der geforderten ideellen Zuordnung nichts mehr im
Wege, da wir ja über unbegrenzt viele mathematische Punkte in der Kreis-
fläche a verfügen, welche eine Mannigfaltigkeit „der zweiten Art“ im Sinne
Georg Cantor's bilden. *
Wir gehen aber sofort noch einen erheblichen Schritt weiter, über
die bisherige Praxis der Verwendung Euler'scher Diagramme hinaus,
indem wir die Beziehungen zwischen „Sphären“ oder Punktgebieten des
* Die Ausführbarkeit gedachter Zuordnung würde sich nach des letzteru
Untersuchungen über die „Mannigfaltigkeitslehre“ streng mathematisch beweisen
lassen, wie viel Gold und Metall es auch im Weltall geben mag, ja, wenn der
ganze Raum damit erfüllt wäre. Man kann nach den einschlägigen Untersuchungs-
ergebnissen (Borchardt's Journal Bd. 84) den ganzen Raum schon auf einer be-
grenzten Linie oder Strecke ein-eindeutig abbilden, so, dass jedem Punkt des
einen immer ein Punkt und nur ein Punkt der andern, und umgekehrt, entspricht.
Vergl. hiezu auch Arbeiten von J. Lüroth, E. Jürgens, u. A.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 156. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/176>, abgerufen am 21.11.2024.
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