wendung ebendieses Prinzips -- zu leisten. So folgt hier aus den beiden ersten Prämissen nach II schon, dass ac sein muss, und hieraus in Verbindung mit der dritten Prämisse cd folgt abermals nach II, dass ad sein muss, wie behauptet worden.
Wir haben damit das Verständniss der einfachsten Form des von der alten Logik sogenannten Kettenschlusses (sorites) gewonnen.
Anmerkung 1 zu Prinzip II.
Auf dem Anwendungsfelde d) des § 3, d. i. im "Aussagenkalkul" -- vergleiche die Anmerkung auf S. 161 sq. -- wird dem Prinzip II die Bedeu- tung zukommen: Wenn c aus b folgt und b aus a folgt, so folgt auch c aus a -- unter a, b, c irgend welche Annahmen oder Behauptungen, irgend welche "Aussagen" (Urteile) verstanden.
Wir werden von diesem "Prinzip" bei den Beweisen unsrer theoreme fortgesetzt -- und, als von etwas Selbstverständlichem, stillschweigend Ge- brauch machen. Damit aber der Leser alsdann auch dessen inne werde, sei hier im voraus schon darauf aufmerksam gemacht.
Unter den Prinzipien des Gebietekalkuls aber darf solches "Prinzip" offenbar nicht aufgezählt werden, da es ersichtlich oder wenigstens an- scheinend gar nicht von Gebieten handelt. Jedenfalls in der that betrifft es nicht die Gebiete unsrer hier "bevorzugten" Mannigfaltigkeit.
Anmerkung 2 zu Prinzip II.
Ähnlich wie mit dem letzten verhält es sich mit noch einem Grund- satze, den wir fortgesetzt bei unsern Schlussfolgerungen im Gebietekalkul bethätigen werden.
In die fundamentalen Sätze und Formeln des Kalkuls gehen Buch- staben ein als allgemeine Symbole, in solcher Weise, dass denselben aus der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete je ein beliebiges als "Wert" oder Be- deutung soll untergelegt werden dürfen.
Der Grundsatz, den wir meinen, ist nun dieser: Jedes allgemeine Sym- bol (dessen Bedeutung unsrer Mannigfaltigkeit angehört) darf durch jedes beliebige (andre) Symbol (dessen Bedeutung derselben Mannigfaltigkeit an- gehört) durchweg ersetzt werden -- einerlei ob das letztere wiederum als ein (natürlich ebenso) "allgemeines" aufgefasst wird, oder ob es beliebt wird, dessen Bedeutung irgendwelche Beschränkungen aufzuerlegen, oder ob endlich dasselbe ein ganz spezielles Gebiet bezeichnet.
Auch von dieser Erlaubniss machen wir demnächst fortgesetzt Ge- brauch; wir substituiren bei den Beweisführungen -- geradeso, wie es auch in der Mathematik geschieht -- alle Augenblick für ein allgemeines (Ge- biete-, Klassen-, oder Aussagen-)Symbol irgend ein anderes. Aber nicht nur bei den fundamentalen, sondern auch bei den mittelst Beweises auf diese zurückgeführten, den aus ihnen gefolgerten oder abgeleiteten Sätzen, in den "Theoremen".
Bei den Definitionen und Postulaten sowie den Axiomen oder "Prin- zipien" -- bei allem was willkürlich ausgemacht, allgemein angenommen, konventionell festgesetzt wird -- konstatirt obiger Grundsatz lediglich Das- jenige, was im Begriffe des "allgemeinen" Symbols liegt. Eine in Betreff sol-
§ 4. Erste Grundlagen: Prinzip II.
wendung ebendieses Prinzips — zu leisten. So folgt hier aus den beiden ersten Prämissen nach II schon, dass a ⋹ c sein muss, und hieraus in Verbindung mit der dritten Prämisse c ⋹ d folgt abermals nach II, dass a ⋹ d sein muss, wie behauptet worden.
Wir haben damit das Verständniss der einfachsten Form des von der alten Logik sogenannten Kettenschlusses (sorites) gewonnen.
Anmerkung 1 zu Prinzip II.
Auf dem Anwendungsfelde δ) des § 3, d. i. im „Aussagenkalkul“ — vergleiche die Anmerkung auf S. 161 sq. — wird dem Prinzip II die Bedeu- tung zukommen: Wenn c aus b folgt und b aus a folgt, so folgt auch c aus a — unter a, b, c irgend welche Annahmen oder Behauptungen, irgend welche „Aussagen“ (Urteile) verstanden.
Wir werden von diesem „Prinzip“ bei den Beweisen unsrer theoreme fortgesetzt — und, als von etwas Selbstverständlichem, stillschweigend Ge- brauch machen. Damit aber der Leser alsdann auch dessen inne werde, sei hier im voraus schon darauf aufmerksam gemacht.
Unter den Prinzipien des Gebietekalkuls aber darf solches „Prinzip“ offenbar nicht aufgezählt werden, da es ersichtlich oder wenigstens an- scheinend gar nicht von Gebieten handelt. Jedenfalls in der that betrifft es nicht die Gebiete unsrer hier „bevorzugten“ Mannigfaltigkeit.
Anmerkung 2 zu Prinzip II.
Ähnlich wie mit dem letzten verhält es sich mit noch einem Grund- satze, den wir fortgesetzt bei unsern Schlussfolgerungen im Gebietekalkul bethätigen werden.
In die fundamentalen Sätze und Formeln des Kalkuls gehen Buch- staben ein als allgemeine Symbole, in solcher Weise, dass denselben aus der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete je ein beliebiges als „Wert“ oder Be- deutung soll untergelegt werden dürfen.
Der Grundsatz, den wir meinen, ist nun dieser: Jedes allgemeine Sym- bol (dessen Bedeutung unsrer Mannigfaltigkeit angehört) darf durch jedes beliebige (andre) Symbol (dessen Bedeutung derselben Mannigfaltigkeit an- gehört) durchweg ersetzt werden — einerlei ob das letztere wiederum als ein (natürlich ebenso) „allgemeines“ aufgefasst wird, oder ob es beliebt wird, dessen Bedeutung irgendwelche Beschränkungen aufzuerlegen, oder ob endlich dasselbe ein ganz spezielles Gebiet bezeichnet.
Auch von dieser Erlaubniss machen wir demnächst fortgesetzt Ge- brauch; wir substituiren bei den Beweisführungen — geradeso, wie es auch in der Mathematik geschieht — alle Augenblick für ein allgemeines (Ge- biete-, Klassen-, oder Aussagen-)Symbol irgend ein anderes. Aber nicht nur bei den fundamentalen, sondern auch bei den mittelst Beweises auf diese zurückgeführten, den aus ihnen gefolgerten oder abgeleiteten Sätzen, in den „Theoremen“.
Bei den Definitionen und Postulaten sowie den Axiomen oder „Prin- zipien“ — bei allem was willkürlich ausgemacht, allgemein angenommen, konventionell festgesetzt wird — konstatirt obiger Grundsatz lediglich Das- jenige, was im Begriffe des „allgemeinen“ Symbols liegt. Eine in Betreff sol-
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[183/0203]
§ 4. Erste Grundlagen: Prinzip II.
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hieraus in Verbindung mit der dritten Prämisse c ⋹ d folgt abermals
nach II, dass a ⋹ d sein muss, wie behauptet worden.
Wir haben damit das Verständniss der einfachsten Form des von
der alten Logik sogenannten Kettenschlusses (sorites) gewonnen.
Anmerkung 1 zu Prinzip II.
Auf dem Anwendungsfelde δ) des § 3, d. i. im „Aussagenkalkul“ —
vergleiche die Anmerkung auf S. 161 sq. — wird dem Prinzip II die Bedeu-
tung zukommen: Wenn c aus b folgt und b aus a folgt, so folgt auch c aus
a — unter a, b, c irgend welche Annahmen oder Behauptungen, irgend
welche „Aussagen“ (Urteile) verstanden.
Wir werden von diesem „Prinzip“ bei den Beweisen unsrer theoreme
fortgesetzt — und, als von etwas Selbstverständlichem, stillschweigend Ge-
brauch machen. Damit aber der Leser alsdann auch dessen inne werde,
sei hier im voraus schon darauf aufmerksam gemacht.
Unter den Prinzipien des Gebietekalkuls aber darf solches „Prinzip“
offenbar nicht aufgezählt werden, da es ersichtlich oder wenigstens an-
scheinend gar nicht von Gebieten handelt. Jedenfalls in der that betrifft
es nicht die Gebiete unsrer hier „bevorzugten“ Mannigfaltigkeit.
Anmerkung 2 zu Prinzip II.
Ähnlich wie mit dem letzten verhält es sich mit noch einem Grund-
satze, den wir fortgesetzt bei unsern Schlussfolgerungen im Gebietekalkul
bethätigen werden.
In die fundamentalen Sätze und Formeln des Kalkuls gehen Buch-
staben ein als allgemeine Symbole, in solcher Weise, dass denselben aus
der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete je ein beliebiges als „Wert“ oder Be-
deutung soll untergelegt werden dürfen.
Der Grundsatz, den wir meinen, ist nun dieser: Jedes allgemeine Sym-
bol (dessen Bedeutung unsrer Mannigfaltigkeit angehört) darf durch jedes
beliebige (andre) Symbol (dessen Bedeutung derselben Mannigfaltigkeit an-
gehört) durchweg ersetzt werden — einerlei ob das letztere wiederum als
ein (natürlich ebenso) „allgemeines“ aufgefasst wird, oder ob es beliebt
wird, dessen Bedeutung irgendwelche Beschränkungen aufzuerlegen, oder
ob endlich dasselbe ein ganz spezielles Gebiet bezeichnet.
Auch von dieser Erlaubniss machen wir demnächst fortgesetzt Ge-
brauch; wir substituiren bei den Beweisführungen — geradeso, wie es auch
in der Mathematik geschieht — alle Augenblick für ein allgemeines (Ge-
biete-, Klassen-, oder Aussagen-)Symbol irgend ein anderes. Aber nicht
nur bei den fundamentalen, sondern auch bei den mittelst Beweises auf
diese zurückgeführten, den aus ihnen gefolgerten oder abgeleiteten Sätzen,
in den „Theoremen“.
Bei den Definitionen und Postulaten sowie den Axiomen oder „Prin-
zipien“ — bei allem was willkürlich ausgemacht, allgemein angenommen,
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jenige, was im Begriffe des „allgemeinen“ Symbols liegt. Eine in Betreff sol-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 183. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/203>, abgerufen am 27.11.2024.
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